Apunts d’Àlgebra Lineal
2024-05-02
Introducció
Aquests apunts corresponen a l’assignatura d’Àlgebra Lineal que s’ha fet als cursos 2018/2019 i 2019/2020 del Grau en Matemàtica Computacional i Analítica de Dades a la UAB. És un curs de 52 hores docents on es barregen les classes teòriques i pràctiques. Per a les classes teòriques (i aquests apunts) s’han utilitzat les referències [1] i [2]. Cada capítol acaba amb una selecció d’exercicis proposats, agafant la numeració de [1]. A més a més, aquest curs s’ha complementat amb tres sessions de Sage que mostren aplicacions d’aquests resultats.
Encara que aquests apunts intenten ser força autocontinguts, es requereix que l’alumne conegui la resolució de sistemes d’equacions lineals, l’aritmètica bàsica de números i polinomis, i que tingui destresa de càlcul amb expressions algebraiques simbòliques.
A tot aquest curs suposem que treballem sobre un cos commutatiu \(\K\) fixat, que podeu pensar és \(\Q\), \(\R\) o \(\CC\). Els elements de \(\K\) els anomenarem nombres o escalars. Les propietats que utilitzarem són:
És commutatiu amb la suma: \(a+b=b+a\) \(\forall a,b\in \K\).
És commutatiu amb el producte: \(ab=ba\) \(\forall a,b\in \K\).
La suma té un element neutre que anomenem zero: \(0+a=a\) \(\forall a\in\K\).
El producte té un elements neutre que anomenem u: \(1a=a\) \(\forall a\in\K\).
Tot element \(a\in\K\) té un invers per la suma que anomenem \(-a\): \(a+(-a)=0\).
Tot element \(a\) diferent de zero té un invers per la multiplicació que anomenem \(1/a\) o bé \(a^{-1}\): \(a a^{-1}=1\).
Hi ha les propietats associatives a la suma i al producte: \((a+b)+c=a+(b+c)\) i \((ab)c=a(bc)\) \(\forall a,b,c \in \K\).
Hi ha la propietat distributiva: \(a(b+c)=ab+ac\) \(\forall a,b,c \in \K\).
També suposem certa familiaritat amb el llenguatge dels conjunts. Si \(A\) és un conjunt, escriurem \(B\subset A\) per denotar que \(B\) és un subconjunt d’\(A\). Escriurem \(a\in A\) per dir que \(a\) és un element d’\(A\). També escriurem \(A\setminus B=\{a \in A \mid a \not\in B\}\) i llegirem els \(a\) que pertanyen a \(A\) i que no pertanyen a \(B\) (o bé el complementari de \(B\) en \(A\)).
Important: Si aquí sota no hi veieu un \(O-K\), heu d’activar l’opció HTML-CSS de MathJax al vostre navegador: \[ \begin{xy} \xymatrix@C=5pt{O\ar@{-}[r]&K} \end{xy} \]