3 Tercer dia

3.1 Operadors de Hecke

3.1.1 Definició

Sigui $f$ una forma dèbilment modular de pes $k$ (és a dir, meromorfa i satisfent la simetria corresponent per $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$). Per cada $n\geq 1$, definim \[ (T_nf)(z) = n^{k-1} \sum_{e\geq 1, ed=n}\sum_{0\leq b < d} d^{-k} f\left(\frac{ez+b}{d}\right). \]

En particular, si $n=p$ és un primer, tenim \[ (T_pf)(z) = \frac{1}{p} \left(\sum_{b=0}^{p-1} f(\frac{z+b}{p}) + f(pz)\right). \]

Proposició 3.1 La funció $T_nf$ és dèbilment modular de pes $k$. Si $f$ és holomorfa, també ho és $T_nf$. A més:

$T_m T_n = T_n T_m = T_{nm}$ si $(m,n)=1$.
$T_{p^{r+1}} = T_p T_{p^r} - p^{k-1} T_{p^{r-1}}$ si $p$ és primer i $n\geq 1$.

Podem calcular l’efecte d’aquests operadors en les $q$-expansions, obtenint:

Proposició 3.2 Si $f(z)=\sum_{m\in \mathbb{Z}} a_m(f)q^m$ és meromorfa l’infinit, aleshores $T_nf(z)=\sum_{m\in\mathbb{Z}} a_m(T_nf)q^m$ també ho és, i

\[ a_m(T_nf) = \sum_{d \mid (m,n)} d^{k-1} a_{mn/d^2}(f). \]

En particular, $a_0(T_nf) = \sigma_{k-1}(n) a_0(f)$, $a_1(T_nf) = a_n(f)$ i, si $n=p$ és un primer, \[ a_m(T_pf) = a_{pm}(f) + p^{k-1} a_{m/p}(f), \] on entenem que $a_{m/p}(f)=0$ si $p$ no divideix $m$.

Corol·lari 3.1 Els operadors $T_n$ actuen a $M_k$ i $S_k$, i commuten entre si.

3.1.2 Formes pròpies

Suposem ara que $f=\sum_{n\geq 0} a_n(f)q^n$ és una forma modular de pes $k>0$, que és pròpia per tots els $T_n$. És a dir, per cada $n\geq 1$ tenim $T_nf=\lambda_nf$, per algun $\lambda_n\in\mathbb{C}$.

Teorema 3.1 Si $f$ és pròpia, $a_1(f)\neq 0$. Si $f$ està normalitzada de manera que $a_1(f)=1$, aleshores $a_n(f) = \lambda_n$.

Demostració. Hem vist que $a_1(T_nf) = a_n(f)$. Com que $f$ és pròpia, $a_1(T_nf) = \lambda_n a_1(f)$. Per tant, $a_n(f) = \lambda_n a_1(f)$. Si suposem que $a_1(f)=0$, aleshores tindríem $a_n(f)=0$ per a tot $n\geq 1$, i per tant $f$ seria una constant. Però $k>0$, i per tant arribem a contradicció.

Corol·lari 3.2 Si $f$ i $g$ són formes pròpies per tot $T_n$ amb els mateixos valors propis, aleshores són proporcionals.

Corol·lari 3.3 Si $f$ és pròpia i està normalitzada, aleshores \[ a_m(f)a_n(f)=a_{mn}(f),\text{si $(m,n)=1$, i} \] \[ a_{p^{r+1}}(f) = a_p(f)a_{p^r}(f) - p^{k-1} a_{r-1}(f). \]

3.1.3 Aplicació a la tau de Ramanujan

Recordem $\Delta(q)=q\prod_{n\geq 1} (1-q^n)^{24}$. Com ja hem vist, $S_{12}=\mathbb{C}\Delta$ i per tant $\Delta$ és trivialment una forma pròpia per tots els operadors de Hecke, que a més ja està normalitzada. Per tant:

Corol·lari 3.4 Tenim: \[ \tau(nm)=\tau(n)\tau(m),\quad (n,m)=1, \] i \[ \tau(p)\tau(p^n) = \tau(p^{n+1})+p^{11}\tau(p^{n-1}),\quad \forall p\text{ primer}, n\geq 1. \]

Es tenen resultats anàlegs per tots els espais $S_k$ de dimensió $1$, que són exactament $k=12,16,18,20,22,26$. El generador és, en cada cas, $\Delta E_{k-12}$.

3.2 Creixement dels coeficients

Més endavant ens interessarà tenir fites per l’ordre de creixement dels coeficients de Fourier de les formes modulars.

Proposició 3.3 Si $f=E_k$, aleshores $a_n\approx n^{k-1}$. És a dir, que hi ha constants $A, B>0$ tals que \[ An^{k-1}\leq |a_n|\leq Bn^{k-1}. \]

Demostració. Tenim $|a_n| = A \sigma_{k-1}(n)\geq An^{k-1}$. D’altra banda, \[ \frac{|a_n|}{n^{k-1}} = A \sum_{d\mid n} \frac{1}{d^{k-1}} \leq A\sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^{k-1}} = A\zeta(k-1) < \infty. \]

El creixement de les formes cuspidals és més lent:

Teorema 3.2 (Hecke) Si $f$ és una forma cuspidal de pes $k$, llavors $a_n=O(n^{k/2})$.

Demostració. Primer de tot, com que $a_0=0$, podem escriure $f(z)=q\sum_{n\geq 1}a_nq^{n-1}$ i, per tant, \[ |f(z)| = O(q)=O(e^{-2\pi \Im(z)}),\quad q\longrightarrow 0. \]

Escrivim $z=x+iy$, i definim $\phi(z)=|f(z)|y^{k/2}$. La modularitat de $f$ fa que la funció $C^\infty$ (no-holomorfa) $\phi$ sigui invariant per $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$, i $\phi(z)\longrightarrow 0$ quan $\Im(z)\longrightarrow\infty$. Per tant, $\phi$ és fitada: hi ha alguna constant $M$ tal que \[ |f(z)|\leq My^{-k/2},\quad z\in \mathbb{H}. \] Per com es calculen els coeficients de Fourier, tenim \[ a_n = \int_0^1 f(x+iy)e^{-2\pi i n(x+iy)}dx, \] i per tant \[ |a_n| \leq Me^{2\pi n y}\int_0^1 y^{-k/2} e^{-2\pi inx}dx = My^{-k/2}e^{2\pi i n y}. \] Aquesta igualtat és vàlida per tot $y>0$. En particular, per $y=1/n$ dona \[ |a_n|\leq e^{2\pi} M n^{k/2}. \]

Corol·lari 3.5 Si $f$ no és cuspidal, aleshores $a_n\approx n^{k-1}$.

Demostració. Escrivim $f=\lambda E_k + h$ amb $\lambda\neq 0$ i $h$ cuspidal, i apliquem els resultats anteriors. Com que els coeficients de $E_k$ creixen molt més ràpid que els de $h$, el creixement de $f$ és igual que el de $E_k$.

Observació 3.5. Un teorema molt profund de Deligne (1973) demostra, de fet, que $a_n = O(n^{(k-1)/2}\sigma_0(n))=O(n^{(k-1)/2-\epsilon})$ per a tot $\epsilon>0$. Abans del resultat de Deligne, aquest fet es coneixia com la conjectura de Petersson, que generalitzava una conjectura famosa de Ramanujan sobre la funció $\tau(n)$.

3.3 La funció-L associada a una forma modular

Podem empaquetar tota la informació que hem trobat de manera analítica, mitjançant la funció-L. Sigui \[ L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty a_n(f)n^{-s}. \] Observem que convergeix per a tot $\Re(s)>k$ gràcies a que controlem el creixement dels $a_n(f)$. Si $f$ és cuspidal, aleshores sabem que la sèrie convergeix a $\Re(s)>k/2+1$.

3.3.1 El producte d’Euler i l’equació funcional

Proposició 3.4 Si $f$ és una forma pròpia normalitzada, aleshores la funció $L(f,s)$ té un producte d’Euler: \[ L(f,s) = \prod_{p\text{ primer}} \frac{1}{1-a_p(f)p^{-s} + p^{k-1-2s}}. \]

Demostració. Els coeficients $a_{n}(f)$ formen una successió multiplicativa i, per tant, \[ L(f,s) = \prod_p \sum_{r=0}^\infty a_{p^r}(f)p^{-rs}. \] Per tant, si escrivim $T=p^{-s}$, hem de demostrar \[ \sum_{r=0}^\infty a_{p^r}(f)T^r = \left(1-a_p(f)T + p^{k-1}T^2\right)^{-1}. \] Equivalentment, podem demostrar \[ \left(1-a_p(f)T + p^{k-1}T^2\right)\sum_{r=0}^\infty a_{p^r}(f)T^r = 1. \] El coeficient de $T$ és $a_p(f)-a_p(f)=0$. El de $T^{r+1}$ és, per a tot $r\geq 1$, \[ a_{p^{r+1}} - a_pa_{p^{r}} + p^{k-1}a_{p^{r-1}}, \] que ja sabem que és $0$.

Observació 3.5. El recíproc també és cert, i la demostració és essentialment el mateix argument fet a l’inrevés.

Per escriure l’equació funcional, escrivim $\Lambda(f,s) = (2\pi)^{-s} \Gamma(s) L(f,s)$, on \[ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s}e^{-t}\frac{dt}{t}. \]

Podem trobar una formula integral per $\Lambda(f,s)$: \[\begin{align*} \Lambda(f,s) &= (2\pi)^{-s} \int_0^\infty t^s e^{-t}\frac{dt}{t} \sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}\\ &= \sum_{n=1}^\infty a_n \int_0^\infty \left(\frac{t}{2\pi n}\right)^s e^{-t}\frac{dt}{t}. \end{align*}\]

Si fem el canvi de variables $t\mapsto t/(2\pi n)$ al terme $n$-èssim, obtenim \[ \sum_{n=1}^\infty a_n\int_0^\infty t^s e^{-2\pi n t} \frac{dt}{t} = \int_0^\infty \left(\sum_{n=1}^\infty a_ne^{-2\pi nt}\right) t^s\frac{dt}{t}. \]

Per tant, hem vist:

Proposició 3.5 $\Lambda(f,s) = \int_0^\infty (f(it) - a_0)t^s\frac{dt}{t}$.

Volem extendre $\Lambda(f,s)$ a tot el pla complex, però la integral tal i com la tenim té problemes de convergència prop de $t=0$. Suposem, per simplicar, que $a_0=0$. Podem trencar la integral \[ \int_0^\infty f(it)t^{s}\frac{dt}{t} = \int_0^1(\cdots)+\int_1^\infty(\cdots) \] i, fent servir que $f(i/t) = i^kt^kf(it)$ trobem, fent el canvi $t\mapsto 1/t$, \[ \int_0^1 f(it)t^{s}\frac{dt}{t} = (-1)^{k/2} \int_1^\infty f(it)t^{k-s}\frac{dt}{t}. \] Per tant, \[ \Lambda(f,s) = \int_1^\infty f(it) (t^s + (-1)^{k/2} t^{k-s})\frac{dt}{t}. \] Aquesta expressió convergeix per tot $s\in\mathbb{C}$. A més a més, obtenim l’equació funcional, que relaciona $s$ amb $k-s$: \[ \Lambda(f,k-s) = (-1)^{k/2} \Lambda(f,s). \]

Observació 3.5. Si $f\in M_k$ no és cuspidal, aleshores $\Lambda(f,s)$ no té una continuació holomorfa (només meromorfa), però l’equació funcional es segueix satisfent.

Hi ha un teorema recíproc, que no demostrarem.

Teorema 3.3 (Weil) Sigui $L(\{a_n\},s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ una sèrie de Dirichlet associada a una successió $\{a_n\}_{n\geq 1}$ tal que $|a_n|=O(n^K)$ per $K$ suficientment gran. Suposem que la funció $\Lambda(\{a_n\},s)$ associada tingui continuació analítica a tot $s\in\mathbb{C}$, fitada en conjunts $\{\sigma_1\leq \Re(s)\leq \sigma_2\}$ i que tingui una equació funcional com l’anterior. Aleshores la funció $f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_ne^{2\pi inz}$ és una forma cuspidal de pes $k$.

3.3.2 Funció-L de les sèries d’Eisenstein

Sigui $k\geq 4$ un enter, i considerem la sèrie d’Eisenstein $E_k = 1 - \frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^\infty \sigma_{k-1}(n)q^n$.

Proposició 3.6 Per a tot $p$ primer i tot $k\geq 4$ es té \[ T_p(E_k) = (1+p^{k-1})E_k. \]

Demostració. Ho comprovem coeficient a coeficient. Si $p\nmid n$, hem de comprovar que \[ \sigma_{k-1}(pn) = (1+p^{k-1})\sigma_{k-1}(n). \] Per altra banda, si $n = p^em$ amb $p\nmid m$ i $e\geq 1$, hem de veure que \[ \sigma_{k-1}(p^{e+1}m) + p^{k-1} \sigma_{k-1}(p^{e-1}m) = (1+p^{k-1})\sigma_{k-1}(p^em). \] La primera equació es comprova fàcilment, i la segona es fa per inducció en $e$.

Podem ara calcular ara la seva sèrie de Dirichlet: \[\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \sigma_{k-1}(n)n^{-s} &= \sum_{a,d\geq 1} \frac{a^{k-1}}{a^sd^s}\\ &= \left(\sum_{d\geq 1} d^{-s}\right)\left(\sum_{a\geq 1} a^{k-s-1}\right)\\ &= \zeta(s)\zeta(s-k+1). \end{align*}\]

De manera alternativa, podem veure que l’invers del terme $p$-èssim del producte d’Euler és \[\begin{align*} 1-\sigma_{k-1}(p)p^{-s} + p^{k-1-2s} &= 1- p^{-s} - p^{k-1-s} + p^{k-1-2s}\\ &= (1-p^{-s})(1-p^{k-1-s}), \end{align*}\] que coincideix amb el producte dels inversos dels factors d’Euler de $\zeta(s)\zeta(s-k+1)$. Resumint, obtenim la factorització

\[ L(E_k,s) = \zeta(s)\zeta(s-k+1). \]

3.4 El producte de Petersson

Per estudiar més a fons els espais $S_k$, els hem de dotar de més estructura que la d’espai vectorial complex. Podem definir un producte escalar hermític, de la següent manera: donades $f,g\in S_k$, considerem \[ \phi_{f,g} = f(z)\overline{g(z)} y^{k}. \]

Si $\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$, podem veure fàcilment que $\phi_{f,g}(\gamma z) = \phi_{f,g}(z)$. Per tant, és una funció ben definida a $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$. Podem doncs considerar la integral \[ \langle f,g\rangle = \frac{3}{\pi}\int_{\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}} f(z)\overline{g(z)} y^{k-2}dxdy, \] ja que $\frac{dxdy}{y^2}$ és una mesura $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$-invariant a $\mathbb{H}$. Respecte aquesta mesura, el domini fonamental de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ té volum $\frac{\pi}{3}$, i per això escollim la normalització anterior.

Proposició 3.7 El producte $\langle\cdot,\cdot\rangle$ és hermític i definit positiu. És a dir: 1. $\langle a_1f_1+a_2f_2,g\rangle = a_1\langle f_1,g\rangle + a_2\langle f_2,g\rangle$, #. $\langle g,f\rangle = \overline{\langle f,g\rangle}$, i #. $\langle f,f\rangle\geq 0$, amb igualtat només si $f=0$.

A més, per a tot $n\geq 1$, tenim \[ \langle T_n f, g\rangle=\langle f, T_ng\rangle. \]

Com a conclusió, els operadors de Hecke $T_n$ formen una família d’operadors normals respecte el producte de Petersson. Per tant, $S_k$ conté una base ortogonal de formes pròpies per tots els operadors de Hecke simultàniament. Es diu que $S_k$ satisfà “multiplicitat-1”: donat una col·lecció de valors propis $\{\lambda_n\}_{n\geq 1}$, hi ha com a molt una forma cuspidal pròpia $f\in S_k$ tal que $T_n(f)=\lambda_n f$. A més, pel teorema de Cayley-Hamilton tenim que els valors propis dels operadors de Hecke són nombres algebraics reals!

3.5 Formes modulars amb nivell

Fins ara hem considerat formes modulars que es transformen bé pel grup modular $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})$. És natural generalitzar la definició a altres subgrups de $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$ que actuin bé (de manera discreta) a $\mathbb{H}$ Una família important la formen els coneguts com a grups de Hecke, indexada per enters $N\geq 1$: \[ \Gamma(N)\subseteq \Gamma_1(N)\subseteq \Gamma_0(N)\subseteq \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}), \] definits com \[ \Gamma(N) = \{ \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) : \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) \equiv \left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right) \pmod{N}\}, \] \[ \Gamma_1(N) = \{\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) : \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) \equiv \left(\begin{smallmatrix}1&*\\0&1\end{smallmatrix}\right) \pmod{N}\}, \] \[ \Gamma_0(N) = \{\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) : \left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) \equiv \left(\begin{smallmatrix}*&*\\0&*\end{smallmatrix}\right) \pmod{N}\}. \]

La definició de formes modulars de nivell $\Gamma$ (on $\Gamma$ és un d’aquests grups) és bastant natural:

Definició 3.1 Una funció holomorfa $f\colon \mathbb{H}\longrightarrow\mathbb{C}$ és una forma modular de pes $k$ i nivell $\Gamma$ si:

$f(\gamma z) = (cz+d)^k f(z), \text{per a tot }\gamma=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right) \in \Gamma$,
$(cz+d)^{-k}f(\gamma z)$ és holomorfa a l’infinit, per a tot $\gamma\in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$.

Observació 3.5. Fixem-nos que la definició demana que $f(\gamma z)$ sigui holomorfa a l’infinit per a tota $\gamma$ de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. Quan $\Gamma=\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ aquesta condició només l’hem de comprovar per $f(z)$, però ara cal imposar més condicions.

Es té un anàleg per la fórmula de la valència, valid per tots aquests grups. Si escrivim $M_k(\Gamma)$ (resp. $S_k(\Gamma)$) per les formes modulars (resp. cuspidals) de pes $k$ i nivell $\Gamma$, es demostra de manera semblant que aquests espais són de dimensió finita. També es té una teoria d’operadors de Hecke i de producte de Petersson.

3.6 Corbes el·líptiques i modularitat

En aquesta secció enunciarem una versió del famós teorema de modularitat, que va jugar un paper central a la demostració de l’Últim teorema de Fermat.

Una corba el·líptica es pot pensar com una equació del tipus \[ E\colon\quad y^2=x^3+ax+b,\quad a,b\in\mathbb{Z}, \Delta=-16(4a^3-27b^2)\neq 0. \] Hem d’entendre aquesta equació com la part afí d’una corba dins el pla projectiu, així que hi ha un punt de més, $\mathcal{O}=(0:1:0)$, amb les coordenades $x=X/Z$, $y=Y/Z$.

Quan reduïm els coeficients mòdul $p$, obtenim una corba definida sobre $\mathbb{F}_p$. A les corbes sobre cossos finits se’ls pot associar una funció “zeta”: \[ Z_p(E,T) = \exp\left(\sum_{m=1}^\infty \frac{\#E(\mathbb{F}_{p^{m}})}{m}T^m\right). \] Resulta que, al ser $E$ una corba el·líptica, es té \[ \prod_{p} Z_p(E,p^{-s}) = \frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{L(E,s)}, \] on \[ L(E,s) = \prod_{p} L_p(E,s)^{-1},\quad L_p(E,s) = \begin{cases} 1-a_p p^{-s} + p^{1-2s}&p\nmid \Delta,\\ 1-a_p p^{-s}&p\parallel N,\\ \end{cases} \] on $a_p$ es defineix com $p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$.

Als anys 70 del segle passat, Eichler i Shimura van demostrar el següent resultat profund:

Teorema 3.4 (Eichler-Shimura) Sigui $f\in S_2(\Gamma_0(N))$ una forma modular pròpia de pes $2$,nivell $N$ i coeficients $a_n\in\mathbb{Z}$. A més, suposem que $f$ és “nova”, és a dir que no “ve” de cap grup $\Gamma_0(M)$ amb $M\mid N$. Aleshores existeix una corba el·líptica $E_f$ de conductor $N$ tal que \[ L(E_f,s) = L(f,s). \]

El recíproc d’aquest teorema es coneixia com la conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, i la seva demostració va dur Andrew Wiles a la portada del New York Times perquè als anys 90 del segle passat ja es sabia que un cas particular (quan el “conductor” d’$E$ és lliure de quadrats) implicava l’Últim Teorema de Fermat. El teorema complet va ser demostrat finalment el 2002.

Teorema 3.5 (Wiles, Taylor-Wiles, Breuil-Conrad-Diamond-Taylor) Sigui $E$ una corba el·líptica definida sobre els racionals, i de conductor $N$. Aleshores existeix una forma pròpia cuspidal $f_E\in S_2(\Gamma_0(N))$ tal que, per a tot $p\nmid N$, \[ a_p(f) = p+1-\# E(\mathbb{F}_p). \] De fet, es té que $L(E,s) = L(f_E,s)$.

Exemple 3.1 Considerem la corba amb etiqueta LMFDB $11.a3$, que té per equació \[ E\colon\quad y^2 + y = x^3-x^2. \] No és de la forma anterior, però s’hi pot posar amb un canvi de variables, que faria els coeficients més grans. Si comptem els punts de la corba per uns quants primers obtenim, si calculem per cada primer $a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$:

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$
$a_p$	$-2$	$-1$	$1$	$-2$	$1$	$4$	$-2$	$0$	$-1$	$0$	$7$

Per altra banda, tenim la forma modular $f(z) = q\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{2}(1-q^{11n})^2$, que té una expansió \[\begin{align*} f(z) &= q {\color{red}-2 q^{2}} {\color{red}- q^{3}} + 2 q^{4} + {\color{red} q^{5}} + 2 q^{6} {\color{red}- 2 q^{7}} - 2 q^{9} - 2 q^{10} {\color{red}+ q^{11}} - 2 q^{12}\\ &+ {\color{red}4 q^{13}} + 4 q^{14} - q^{15} - 4 q^{16} {\color{red}- 2 q^{17}} + 4 q^{18} + 2 q^{20} + 2 q^{21} - 2 q^{22}\\ &{\color{red}- q^{23}}- 4 q^{25} - 8 q^{26} + 5 q^{27} - 4 q^{28} + 2 q^{30} +{\color{red} 7 q^{31}} + O(q^{32}) \end{align*}\]

i podem veure que els coeficients coincideixen amb els obtinguts de la corba el·líptica.

3.7 La funció j de Klein

Definim la següent funció modular de pes $0$: \[ j = E_2^3 / \Delta. \] Veiem que $j$ té un holomorfa a tot $\mathbb{H}$, perquè $\Delta$ no s’anul·la. A més, té un pol simple a l’infinit, provinent del zero simple de $\Delta$.

Proposició 3.8 L’aplicació $z\mapsto j(z)$ identifica $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})\backslash \mathbb{H}$ amb $\mathbb{C}$.

Demostració. Com que $j$ és invariant per $G$, obtenim una funció ben definida $G\backslash \mathbb{H}\longrightarrow\mathbb{C}$. Hem de veure que, per a tot $\lambda\mathbb{C}$, existeix un únic $z\in G\backslash\mathbb{H}$ tal que $j(z)=\lambda$ o, el què és el mateix, que la funció $f_\lambda(z)=E_2(z)^3 - \lambda\Delta(z)$ té un únic zero mòdul $G$. Aplicant la fórmula de la valència a $f_\lambda$ (que té pes $12$) veiem que hem de descomposar $1$ de la forma $a + b/2 + c/3$ amb $a,b,c\geq 0$. Les úniques possibilitats són $(1,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,3)$, i per tant hi ha un únic zero de $f_\lambda$ a $G\backslash\mathbb{H}$.

De fet, la funció $j$ dona lloc a totes les funcions modulars de pes zero:

Proposició 3.9 Tota funció modular de pes zero és una funció racional en $j$.

Demostració. Sigui $f$ una funció modular. Multiplicant-la per un polinomi en $j$, posem suposar que és holomorfa a $\mathbb{H}$. D’altra banda, com que $\Delta$ té un zero simple a l’infinit, podem multiplicar $f$ per $\Delta^n$ de manera que $g=\Delta^nf$ sigui holomorfa també a l’infinit. Aleshores $g$ és una forma modular de pes $12n$, que podem escriure com un polinomi (4,6)-homogeni en $E_4$ i $E_6$, de grau $12n$. Per linealitat, n’hi ha prou amb veure que $f=E_4^iE_6^j/\Delta^n$ és una funció racional en $j$. Observem però que, com que $4i+6j=12n$, tant $p=i/3$ com $q=j/2$ són enters i, per tant, \[ f=E_4^{3p}E_6^{2q}/\Delta^{p+q}=(\frac{E_4^3}{\Delta})^p(\frac{E_6^2}{\Delta})^q. \] Però tant $E_4^3/\Delta$ com $E_6^2/\Delta$ són funcions racionals en $j$, i ja estem.

Observació 3.5. A partir de les $q$-expansions de les sèries d’Eisenstein podem obtenir la de $j$: \[ j(z)=\frac{1}{q} + 744 + 196884q + 21493760q^2+\cdots \] Els coeficients són tots enters, que a més satisfan $n\equiv 0\pmod{p^i}\implies c(n) \equiv 0 \pmod{p^i}$ per $p=2,3,5,7,11$ (per $p=2,3,5$ la divisilitat de $c(n)$ és per $2^{3i+8}$, $3^{2i+3}$ i $5^{i+1}$, respectivament).

El següent teorema és sorprenent: ens diu que la funció transcendent $j(z)$ pren valors algebraics quan l’argument és quadràtic.

Teorema 3.6 Si $\tau\in\mathbb{H}$ genera un cos quadràtic, aleshores $j(\tau)$ és algebraic.

Demostració. Suposem que $A\tau^2+B\tau+C=0$, amb $A\neq 0$. Aleshores la matriu $M=\left(\begin{smallmatrix}B&C\\-A&0\end{smallmatrix}\right)$ té determinant $N = AC$ i fixa $\tau$. El grup $\Gamma=\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\cap M^{-1}\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})M$ és d’índex finit a $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$, i tant $j(z)$ com $j(Nz)$ són formes modulars meromorfes pel grup $\Gamma$. Per tant, són algebraicament dependents: hi ha un polinomi $P(X,Y)\in \mathbb{C}[X,Y]$ tal que $P(j(z), j(Nz))=0$. Mirant la $q$-expansió de $j(z)$ i $j(Nz)$ es veu que $P(X,Y)$ té de fet coeficients a $\mathbb{Q}$. Resulta aleshores que $j(\tau)$ és arrel del polinomi $P(X,X)\in\mathbb{Q}[X]$.

Per exemple, es pot demostrar que $j(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}) = (640320)^3$. D’aquí se’n dedueix la famosa “identitat” \[ e^{\pi\sqrt{163}} = 262537412640768743.999999999999250072597\ldots \]

De fet, la funció $j$ ens permet apropar-nos al somni de joventut de Kronecker. Kronecker i Weber van demostrar el 1884 el següent teorema:

Teorema 3.7 (Kronecker-Weber) Sigui $H$ una extensió abeliana de $\mathbb{Q}$. Aleshores existeix $n\geq 1$ tal que $H\subseteq \mathbb{Q}(e^{2\pi i/n})$.

Es van preguntar si les extensions abelianes d’altres cossos diferents de $\mathbb{Q}$ també es poden obtenir adjuntant valors “especials” d’alguna funció anàloga a l’exponencial. Doncs bé, tenim:

Teorema 3.8 (Kronecker, Weber, Takagi, Hasse) Sigui $H$ una extensió abeliana d’un cos quadràtic imaginari $K$. Aleshores existeix un $n\geq 1$ i un $\tau$ quadràtic tal que \[ H\subseteq K(e^{2\pi i/n}, j(\tau), j(n\tau)). \]