Episodi 13. Arrels i radicals

Definirem què vol dir que un polinomi sigui resoluble per radicals, i veurem que és equivalent a què el seu grup de Galois sigui resoluble. D’aquí en podrem deduir que els polinomis generals de grau \(\geq 5\) no són resolubles per radicals i, per tant, no existeix una fórmula que expressi les arrels d’un polinomi en termes dels seus coeficients. També es mostrarà un exemple concret d’un polinomi de grau \(5\) sobre \(\QQ\) amb grup de Galois \(S_5\).

13.1 Caràcters

En aquesta secció demostrarem un resultat d’àlgebra lineal que ens caldrà més endavant.

Definició 13.1 Un caràcter \(\chi\) d’un grup \(G\) amb valors en un cos \(L\) és un morfisme de grups \[ \chi \colon G \to L^\times. \]

Podem pensar un caràcter \(\chi\) com una funció \(G\to L\). Les funcions de \(G\) a \(L\) formen un \(L\)-espai vectorial, de manera òbvia. El següent resultat és degut a Dedekind.

Teorema 13.1 (Independència lineal dels caràcters) Siguin \(\chi_1,\ldots,\chi_n\) caràcters de \(G\) diferents. Aleshores són linealment independents, és a dir, no hi ha cap combinació lineal no trivial \(a_1\chi_1+\cdots+a_n\chi_n\) que doni lloc a la funció idènticament zero.

Prova. Suposem (reordenant, si cal) que podem escriure \[ a_1\chi_1 + \cdots a_m\chi_m = 0, \] amb tots els \(a_i\neq 0\) (observem \(m\leq n\)) i amb \(m\) mínim. Obtindrem una relació de dependència amb menys termes, arribant així a contradicció.

Prenem \(g_0\in G\) tal que \(\chi_1(g_0)\neq \chi_m(g_0)\). Aleshores tenim \[ a_1\chi_1(g) + \cdots a_m\chi_m(g) = 0, \] i \[ a_1\chi_1(g_0g) + \cdots a_m\chi_m(g_0g) = 0. \] Multiplicant la primera equació per \(\chi_m(g_0)\) i restant-li la segona obtenim, per a tot \(g\), \[ a_1(\chi_m(g_0)-\chi_1(g_0)) \chi_1(g) + \cdots a_{m-1}(\chi_m(g_0)- \chi_{m-1}(g_0)) \chi_{m-1}(g) = 0. \] Com que el primer coeficient és diferent de zero, tenim una relació no trivial amb \(m-1\) termes, contradicció.

Un cas particular que ens interessa aquí prové de considerar un morfisme no trivial de cossos \(\sigma\colon K\to L\), que indueix un morfisme de grups entre les unitats \(\sigma\colon K^\times \to L^\times\) (aquesta restricció ja conté tota la informació que ens cal de \(\sigma\), perquè ja sabem que \(\sigma(0)=0\)). Aleshores \(\sigma\) esdevé un caràcter del grup \(G=K^\times\), i per tant tenim el següent:

Corol·lary 13.1 Si \(\sigma_1,\ldots,\sigma_n\) són morfismes diferents de \(K\) a \(L\), aleshores són linealment independents com a funcions de \(K\).

13.2 Extensions cícliques

Comencem definint les extensions cícliques, que són senzilles però que ens permetran després construir-ne de més complicades.

Definició 13.2 (extensió cíclica) Una extensió \(K/F\) és cíclica si és Galois amb grup de Galois cíclic.

Escriurem \(\mu_n\) pel grup de les arrels \(n\)-èssimes de la unitat (en una clausura algebraica), i també escriurem \(\sqrt[n]{a}\) per una arrel del polinomi \(x^n-a\).

Proposició 13.1 Sigui \(F\) és un cos on \(n\) és invertible i que conté \(\mu_n\). Aleshores si \(a\in F\) l’extensió \(F(\sqrt[n]{a})\) és cíclica de grau un divisor de \(n\).

Prova. Escrivim \(K=F(\sqrt[n]{a})\). Com que \(\mu_n\subseteq F\), \(K\) és el cos de descomposició de \(x^n-a\) i per tant és Galois. Sigui \(\alpha=\sqrt[n]{a}\) una arrel fixada. Aleshores tot \(\sigma\in\Gal(K/F)\) porta \(\alpha\) a \(\alpha\zeta_\sigma\), on \(\zeta_\sigma\in\mu_n\) és una arrel \(n\)-èssima de la unitat que depèn de \(\sigma\). Obtenim així una aplicació \[ \chi_a\colon \Gal(K/F)\to \mu_n,\quad \sigma\mapsto \zeta_\sigma=\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}. \] Fixem-nos que \(\chi_a\) no depèn de quina arrel \(\alpha\) hem triat de \(x^n-a\). Qualsevol altra arrel seria de la forma \(\alpha\zeta\), i \(\sigma(\alpha\zeta)/(\alpha\zeta) = \sigma(\alpha)/\alpha\) perquè \(\sigma\) fixa les arrels de la unitat. Fent servir això, és fàcil veure que aquesta aplicació és un morfisme de grups (és a dir, que \(\zeta_{\sigma\tau} = \zeta_\sigma\zeta_\tau\)), i el seu nucli està format per aquelles \(\sigma\) que fixen \(\sqrt[n]{a}\), és a dir per la identitat. Per tant, \(\Gal(K/F)\) és isomorf a un subgrup del grup cíclic \(\mu_n\), com volíem veure.

El recíproc resulta ser cert.

Proposició 13.2 Sigui \(F\) és un cos on \(n\) és invertible i que conté \(\mu_n\), i sigui \(K/F\) una extensió cíclica de grau \(n\). Aleshores \(K=F(\sqrt[n]{a})\) per algun \(a\in F\).

Prova. Escrivim \(G=\langle\sigma\rangle\). Donat \(\alpha\in K\) i \(\zeta\in\mu_n\), definim la resolvent de Lagrange com \[ [\alpha,\zeta] = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^i \sigma^i(\alpha). \] Fixem-nos que, com que \(\sigma\) fixa \(\zeta\), tenim: \[\begin{align*} \sigma([\alpha,\zeta]) &= \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^i \sigma^{i+1}(\alpha)\\ &= \zeta^{-1} [\alpha,\zeta], \end{align*}\] i repetint el procés tenim \(\sigma^i([\alpha,\zeta]) = \zeta^{-i} [\alpha,\zeta]\). També tenim que \(\sigma([\alpha,\zeta]^n) = \zeta^{-n} [\alpha,\zeta]^n = [\alpha,\zeta]^n\). Per tant \([\alpha,\zeta]^n\) és un element de \(F\). Si fixem una arrel primitiva \(\zeta\) el Corol·lari 13.1 ens diu que els automorfismes \(1,\sigma,\ldots,\sigma^{n-1}\) són linealment independents, i per tant que hi ha un element \(\alpha\in K\) tal que \([\alpha,\zeta]\neq 0\). Com que \(\sigma^i([\alpha,\zeta]) = \zeta^{-i}[\alpha,\zeta]\), aquest element no pot viure en cap subcos propi de \(K\). Per tant, \(K = F([\alpha,\zeta])\). A més, \([\alpha,\zeta]^n \in F\), per tant \(K=F(\sqrt[n]{a})\) per algun \(a\in F\), com volíem veure.

13.3 Solubilitat per radicals

Considerarem només cossos de característica zero, encara que n’hi hauria prou amb evitar les característiques que divideixin el grau de les extensions que prendrem.

Definició 13.3 (element resoluble per radicals) Un element \(\alpha\) algebraic sobre \(F\) es diu que es pot expressar amb radicals, o resoluble per radicals, si \(\alpha \in K\) on \(K\) es pot obtenir mitjançant una cadena d’extensions \[ F=K_0\subset K_1\subset\cdots\subset K_r = K, \quad K_{i+1} = K_i(\sqrt[n_i]{a_i}). \] Direm que \(K\) és una extensió radical d’\(F\).

Definició 13.4 (polinomi resoluble per radicals) Diem que un polinomi \(f(x)\in F[x]\) és resoluble per radicals si totes les seves arrels són resolubles per radicals.

Com que afegir les arrels de la unitat dona lloc a una extensió radical, podem assumir sempre que \(F\) té les arrels de la unitat que vulguem. Per tant, podrem identificar extensions radicals amb extensions cícliques.

Lema 13.1 El compositum d’un nombre finit d’extensions radicals és una extensió radical.

Prova. N’hi ha prou amb considerar el compositum de dues extensions radicals \[\begin{align} F=K_0 & \subset K_1\subset\cdots \subset K_r=K\\ F=L_0 & \subset L_1\subset\cdots \subset L_s=L\\ \end{align}\] Fem inducció en \(s\geq 0\), on el cas \(s=0\) és trivial. Considerem aleshores la \[ F=K_0 L_1 \subseteq K_1 L_1\subseteq\cdots \subseteq K L_1. \] Cadascuna de les extensions que hi apareixen és radical, per tant \(K L_1\) és radical. Ara tenim l’extensió \(K L_1 / F\) radical, i per hipòtesi d’inducció l’extensió \(KL /KL_1\) és radical, per tant \(KL / F\) també ho és.

Lema 13.2 Si \(\alpha\) pertany a una extensió radical \(K/F\), aleshores \(\alpha\) pertany a una extensió radical \(K'/F\) on les extensions successives són cícliques.

Prova. Prenem la clausura de Galois \(L/K/F\) i considerem, per cada \(\sigma\in \Gal(L/F)\), la cadena \[ F=\sigma(K_0)\subset \sigma(K_1)\subset\cdots\subset \sigma(K_r)=\sigma(K). \] Les extensions intermitges també són simples radicals, generades per \(\sigma(\sqrt[n_i]{a_i})\), que és una arrel polinomi \(x^{n_i} - \sigma(a_i)\) amb coeficients a \(\sigma(K_i)\). El compositum dels \(\sigma(K)\) és \(L\), i pel lema anterior \(L/F\) és radical.

Finalment, hem d’adjuntar totes les arrels \(n_i\)-èssimes que apareguin a la cadena radical per \(L/F\), obtenint un nou cos \(F'\). Composant amb la cadena per \(L/F\) obtenim: \[ F \subseteq F'=F'L_0 \subseteq F'L_1\subseteq\cdots\subseteq F'L_r = F'L. \] El primer sant és abelià i per tant es pot trencar en una cadena cíclica. Els altres salts són radicals simples però ara tenim les arrels del a unitat disponibles, i per tant sabem que són cícliques, i hem acabat.

Recordem que un grup finit \(G\) és resoluble si hi ha una cadena de subgrups \[ 1 = G_r \leq G_{r-1} \leq\cdots \leq G_0=G,\quad G_i/G_{i-1} \text{ cíclic.} \] (es pot canviar cíclic per abelià, ja que donat un grup abelià sempre es pot trobar una cadena cíclica). També cal recordar que si \(N \normaleq G\) aleshores \(G\) és resoluble si i només si \(N\) i \(G/N\) ho són.

Teorema 13.2 (Galois) El polinomi \(f(x)\) és resoluble per radicals si i només si \(\Gal(f)\) és un grup resoluble.

Prova. Suposem que \(f(x)\) és resoluble per radicals. Cada arrel és resoluble i per tant està continguda en una extensió radical. El compositum de totes aquestes extensions, posem \(K/F\), també és radical. Si prenem els subgrups de Galois \(G_i=\Gal(K_i/F)\) de cadascun dels cossos de la cadena, com que \(\Gal(K_{i+1}/K_i) = G_i/G_{i+1}\) és cíclic per tot \(i\), en deduïm que \(\Gal(K/F)\) és resoluble.

Recíprocament, suposem que \(f(x)\) té cos de descomposició \(K/F\), i que \(G = \Gal(f)=\Gal(K/F)\) és resoluble. Els cossos fixos d’una cadena demostrant la resolubilitat de \(G\) donen lloc a una cadena d’extensions cícliques. Podem obtenir una nova cadena de cossos composant-la amb una extensió \(F'/F\) on s’adjuntin totes les arrels de la unitat necessàries. Aleshores les noves extensions intermitges són radicals simples, i per tant les arrels d’\(f(x)\) estan contingudes en una extensió radical \(F'K\).

Corol·lary 13.2 (Abel-Ruffini) El polinomi general de grau \(n\) no és resoluble per radicals, per cap \(n\geq 5\).

Prova. Cal saber que \(S_n\) no és resoluble per \(n\geq 5\).

Aquest teorema diu que no podem trobar una fórmula general només fent servir radicals per les arrels d’una equació de grau \(n\geq 5\). Però això no vol dir que no hi hagi polinomis pels quals no es pugui fer! Per exemple, \(x^n-a\) és resoluble per radicals per qualsevol \(a\), trivialment. Veurem ara com podem trobar polinomis de grau primer amb grup de Galois \(S_p\).

Proposició 13.3 Sigui \(f(x)\in \QQ[x]\) un polinomi irreductible de grau \(p\) amb exactament \(p-2\) arrels reals. Aleshores \(\Gal(f)\cong S_p\).

Prova. Sigui \(G = \Gal(f)\), que el pensem com a subgrup de \(S_p\). Siguin \(\alpha\) i \(\bar{\alpha}\) les dues arrels complexes de \(f\). Com que \(f\) és irreductible de grau \(p\), el cos de descomposició \(K\) té grau múltiple de \(p\). Per tant, \(|G|\) és divisible per \(p\). Els únics elements de \(S_p\) d’ordre \(p\) són els \(p\)-cicles, així que \(G\) conté un \(p\)-cicle.

D’altra banda, la conjugació complexa restringeix a un element de \(G\) que fixa les arrels reals i intercanvia les dues arrels complexes. Per tant \(G\) conté una transposició. És un senzill exercici de permutacions demostrar que un \(p\)-cicle i una transposició qualsevol generen \(S_p\) quan \(p\) és primer.

Podem aplicar el resultat anterior al polinomi \(f(x)=x^5-4x-2\). Com que és \(2\)-Eisenstein, és irreductible. A més, la seva derivada és \(5x^4-4\), que té zeros a \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}}\). Deduïm que \(f(x)\) té exactament tres zeros reals, que de fet podem aproximar: \(-1.24359639\ldots,-0.50849948\ldots,1.51851215\ldots\). Per tant, \(\Gal(f)\cong S_5\), i concloem que no hi ha una fórmula per les arrels de \(x^5-4x-2\) que només faci servir arrels \(n\)-èssimes.