Episodi 9. Cossos Finits

Aplicarem el teorema fonamental de la teoria de Galois a l’estudi complet des cossos finits i les seves extensions. Sabem que per cada potència de primer \(p^n\) hi ha un únic cos amb \(p^n\) elements, que anomenem \(\FF_{p^n}\).

9.1 Grup de Galois

Ja vam definir \(\FF_{p^n}\) com el cos de descomposició del polinomi \(x^{p^n}-x\in\FF_p[x]\). Per tant, l’extensió \(\FF_{p^n} / \FF_p\) és de Galois.

Lema 9.1 El grup \(\Gal(\FF_{p^n}/ \FF_p)\) és cíclic d’ordre \(n\), generat per l’automorfisme de Frobenius \[ \sigma \colon \FF_{p^n}\to\FF_{p^n},\quad \alpha\mapsto \sigma(\alpha)=\alpha^p. \]

Prova. Fixem-nos que \(\sigma\) és un automorfisme, perquè és un endomorfisme injectiu d’un grup finit. També tenim \(\sigma^i(x) = x^{p^i}\), i per tant \(\sigma\) té ordre \(n\) a \(\Gal(\FF_{p^n}/\FF_p)\). Com que l’ordre d’aquest grup és \(n=[\FF_{p^n}\colon \FF_p]\), obtenim el resultat.

9.2 Subcossos

El teorema fonamental ens diu que els subcossos de \(\FF_{p^n}\) estan en correspondència amb els subgrups de \(\Gal(\FF_{p^n}/\FF_p)=\langle\sigma\rangle\). Sabem de teoria de grups que per cada divisor \(d\mid n\) hi ha exactament un subgrup d’índex \(d\), que és el generat per \(\sigma^{d}\). A més, tots els subgrups són normals (perquè és un grup abelià). Per tant, tenim:

Proposició 9.1 Si \(d\mid n\), aleshores \(\FF_{p^d}\) és un subcos de \(\FF_{p^n}\). Recíprocament, si \(\FF\subseteq\FF_{p^n}\) és un subcos, és de Galois, i \(\FF\cong \FF_{p^d}\) amb \(d\mid n\).

Vegem una aplicació fàcil d’aquest resultat:

Corol·lary 9.1 El polinomi irreductible \(\Phi_8(x)=x^4+1\in\ZZ[x]\) és reductible mòdul qualsevol primer \(p\).

Prova. Per \(p=2\), tenim \(x^4+1 = (x+1)^4\). Suposem ara \(p\) senar. Com que \(8\mid p^2-1\) (mirem els quadrats senars mòdul \(8\)), tenim que \(x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)\) divideix a \(x^{p^2-1}-1\) a \(\ZZ[x]\). Per tant, \(x^4+1\) divideix també a \(x^{p^2}-x\). Això vol dir que les arrels de \(x^4+1\) viuen totes a \(\FF_{p^2}\). Però si fos irreductible, generaria una extensió de grau \(4\), contradicció.

9.3 Polinomis irreductibles

Ja hem vist que tota extensió de Galois és simple. Obtenim, per tant:

Proposició 9.2 L’extensió \(\FF_{p^n}/\FF_p\) és simple. Equivalentment, per cada \(n\geq 1\) existeix un polinomi \(f(x)\in \FF_p[x]\) irreductible de grau \(n\).

Podem trobar una fórmula explícita pel nombre de polinomis irreductibles de grau \(n\). Ens caldrà primer demostrar un resultat útil sobre la factorització de \(x^{p^n} -x\in\FF_p[x]\).

Proposició 9.3 El polinomi \(x^{p^n}-x\) és el producte de tots els polinomis irreductibles de grau \(d\), per tots els \(d\mid n\).

Prova. Sigui \(f(x)\) un polinomi irreductible de grau \(d\mid n\). Aleshores l’extensió generada per \(f\) és de grau \(d\) sobre \(\FF_p\) i per tant és \(\FF_{p^d}\). Per tant, \(f(x)\) és un divisor de \(x^{p^d}-x\), que al seu torn divideix \(x^{p^n}-x\).

Recíprocament, suposem que \(f(x)\) és un factor irreductible de \(x^{p^n}-x\), podem de grau \(d\). Aleshores l’extensió que genera és un subcos de \(\FF_{p^n}\) i, per tant, té grau \(d\mid n\).

Corol·lary 9.2 El nombre de polinomis irreductibles de grau \(n\) a \(\FF_p[x]\) és: \[ \Psi(n) = \frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d)p^{n/d}, \] on \(\mu\) és la funció de Möbius.

Prova. Comptant els graus dels polinomis de la proposició anterior, obtenim \[ p^n = \sum_{d\mid n} d \Psi(d). \] El resultat s’obté aplicant la fórmula d’inversió de Möbius.