Episodi 5. Polinomis (In)separables

Definim la noció de separabilitat d’un polinomi, i posem algun exemple. Introduïm el morfisme de Frobenius, que ens permet definir cossos perfectes. Aprofitem per parlar del grau de separabilitat/inseparabilitat d’una extensió, i la factorització d’aquesta.

Finalment, donem l’existència i unicitat dels cossos finits, i estudiem els polinomis ciclotòmics.

5.1 Separabilitat de polinomis i extensions

Sigui \(F\) un cos.

Definició 5.1 (separabilitat) Un polinomi \(f(x)\in F[x]\) és separable si les seves arrels (en un cos de descomposició) són totes diferents. Si \(f(x)\) no és separable diem que \(f(x)\) és inseparable.

Fixem-nos que la definició no depèn del cos de descomposició que ens triem, per unicitat llevat d’isomorfisme. De fet, podem caracteritzar la separabilitat de \(f(x)\) sense haver de considerar cap cos de descomposició:

Proposició 5.1 Un polinomi \(f(x)\) té una arrel múltiple \(\alpha\) si i només si \(\alpha\) és una arrel de \(f'(x)\). En particular, \(f(x)\) és separable si i només si \(\mcd(f(x), f'(x)) = 1\).

Prova. Si \(f(x)=(x-\alpha) g(x)\), aleshores \(f'(x) = g(x) + (x-\alpha)g'(x)\) i, per tant, \(f'(\alpha)=0\) si i només si \(g(\alpha)=0\), si i només si \(f(x)=(x-\alpha)^2h(x)\).

Corol·lary 5.1 Si \(f(x)\in F[x]\) és irreductible i \(F\) té característica \(0\), aleshores \(f\) és separable. En general, un polinomi \(f(x)\in F[x]\) és separable si i només si és producte de diferents polinomis irreductibles.

Prova. Si \(f(x)\) té una arrel múltiple \(\alpha\), aleshores \(h(x)=\mcd(f(x),f'(x))\) és un múltiple de \((x-\alpha)\) que divideix \(f(x)\), i per tant \(f(x)\) no pot ser irreductible.

Exemple 5.1 El polinomi \(x^n-1\) té derivada \(nx^{n-1}\) i per tant, si \(n\neq 0\) a \(F\) aleshores \(x^n-1\) és separable, i en aquest cas hi ha \(n\) arrels de la unitat diferents a \(F\). En canvi, si \(F\) és de característica \(p\mid n\), aleshores cada arrel de \(x^n-1\) és múltiple.

Ja hem estudiat el problema de separabilitat en característica \(0\), que és molt senzill. Ens centrarem ara en característica \(p\), així que sigui \(F\) un cos de característica finita \(p\). Pensem en què pot anar malament per tal que un polinomi irreductible \(f(x)\in F[x]\) sigui inseparable. Cal que la seva derivada tingui factors en comú amb \(f(x)\), i això només pot passar si la derivada és \(0\).

Lema 5.1 Sigui \(f(x)\in F[x]\) amb \(\car(F)=p\). Si \(f'(x)=0\), aleshores hi ha un polinomi \(f_1[x]\in F[x]\) tal que \(f(x)=f_1(x^p)\).

En particular, observem que si \(f(x)\in F[x]\) és inseparable, aleshores el seu grau és un múltiple de \(p\).

Proposició 5.2 Sigui \(f(x)\in F[x]\) amb \(\car(F)=p\) un polinomi irreductible. Aleshores hi ha un únic \(k\geq 0\) i un únic polinomi irreductible i separable \(g(x)\in F[x]\) tal que \[ f(x)=g(x^{p^k}). \]

Prova. Iterem el procediment del lema anterior fins que el polinomi que obtenim és separable. Seguirà essent irreductible, i ja haurem acabat.

Definició 5.2 (grau de separabilitat) Sigui \(f(x)\in F[x]\) amb \(\car(F)=p\) un polinomi irreductible. El grau de separabilitat de \(f(x)\) és el grau de \(g(x)\) en la proposició anterior, i el denotem per \(\deg_s f(x)\).

El grau d’inseparabilitat és l’enter \(p^k\) que hi apareix, i el denotem per \(\deg_i f(x)\).

Observem que \(\deg f(x) = \deg_s f(x) \deg_i f(x)\).

Proposició 5.3 Sigui \(F\) un cos de característica \(p\). Aleshores l’aplicació \(a \mapsto a^p\) és un morfisme de cossos \(F\to F\).

Prova. Només cal veure que \((a+b)^p = a^p + b^p\) i que \((ab)^p = a^p b^p\). La primera igualtat es veu fent servir que \(p\) divideix a \(\binom{p}{i}\) per a \(1\leq i\leq p-1\), i la segona és trivial.

El morfisme de la proposició anterior s’anomena el morfisme de Frobenius. Observem que si \(\FF\) és un cos finit, aleshores el morfisme de Frobenius és un isomorfisme (només cal comptar), però en general no és cert. Per exemple, la imatge de Frobenius a \(F=\FF_p(t)\) és \(\FF_p(t^p)\).

Proposició 5.4 Sigui \(\FF\) és un cos de característica \(p\) tal que el morfisme de Frobenius és exhaustiu. Aleshores tot polinomi irreductible sobre \(\FF\) és separable.

Prova. Suposem que \(f(x)\) fos inseparable. Aleshores \(f(x)=f_1(x^p)\) per algun \(f_1(x)\in \FF[x]\). Els coeficients de \(f_1\) són potències de \(p\), i aleshores podem escriure \[f_1(x)=a_m^px^m+a_{m-1}^px^{m-1}+\cdots a_1^px + a_0^p.\]

Per tant, tenim \[ f(x)=f_1(x^p) = a_m^px^{pm}+a_{m-1}^px^{p(m-1)}+\cdots a_1^px^p + a_0^p = \left(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots a_1x + a_0\right)^p, \] que contradiu el fet que \(f(x)\) sigui irreductible.

Aquesta definició ens servirà per unificar els dos casos on la separabilitat no és problemàtica.

Definició 5.3 (cos perfecte) Un cos \(F\) és perfecte si té característica \(0\) o bé el morfisme de Frobenius és exhaustiu.

Corol·lary 5.2 Si \(F\) és perfecte, aleshores tot polinomi irreductible a \(F[x]\) és separable.

Finalment, podem introduir el concepte d’extensió separable.

Definició 5.4 (extensió separable) Una extensió \(K/F\) és separable si tot element de \(K\) és arrel d’un polinomi separable sobre \(F\).

Corol·lary 5.3 Tota extensió finita d’un cos perfecte és separable. En particular, els cossos finits són separables.

Corol·lary 5.4 Sigui \(F\) un cos de característica \(p\), i sigui \(K/F\) una extensió finita tal que \(p \nmid [K\colon F]\). Aleshores \(K/F\) és separable.

Prova. Sigui \(\alpha \in K\), i considerem \(\Irr_{\alpha, F}(x)\). Com que el seu grau és un divisor de \([K\colon F]\), no pot ser divisible per \(p\) i, per tant, és separable.

Més endavant ens serà útil saber que la separabilitat es comporta bé en torres.

Lema 5.2 Sigui \(L/K/F\) una torre. Si \(L/F\) és separable, aleshores \(L/K\) i \(K/F\) també ho són.

Prova. Si \(L/F\) aleshores \(K/F\) és separable, trivialment. Per veure que \(L/K\) també ho és, observem simplement que per tot \(\alpha\in L\), el polinomi \(\Irr_{\alpha,K}(x)\) és un divisor (a \(K[x]\)) del polinomi \(\Irr_{\alpha,F}(x)\).

Més endavant veurem que el recíproc també és cert, però per ara no ens caldrà.

5.2 Polinomis Ciclotòmics

L’objectiu principal és demostrar que l’extensió ciclotòmica \(\QQ(\zeta_n)\) té grau \(\varphi(n)\) (la phi d’Euler). Per això, introduïrem els polinomis ciclotòmics, veurem que són irreductibles i mònics i tenen coeficients enters.

Sigui \(\mu_n\) el grup de les arrels \(n\)-èssimes de la unitat, que podem pensar dins de \(\CC\). Com a grup abstracte, és isomorf a \(\ZZ/n\ZZ\) (un cop fixem una arrel primitiva \(\zeta_n\)): \[ \ZZ/n\ZZ \to \mu_n,\quad a \mapsto \zeta_n^a. \] Ja hem observat que les arrels primitives són exactament les de la forma \(\zeta_n^a\) amb \(a\) coprimer amb \(n\) i que, per tant, n’hi ha \(\varphi(n)\). Fixem-nos també que si \(d\mid n\) aleshores \(\mu_d \subseteq \mu_n\). Però fixem-nos que si \(\zeta\in \mu_n\), aleshores \(\zeta\) és una arrel primitiva \(d\)-èssima per algun \(d \mid n\).

Definició 5.5 (polinomi ciclotòmic) El polinomi ciclotòmic \(n\)-èssim \(\Phi_n(x)\) és el polinomi de grau \(\varphi(n)\) que té per arrels les arrels primitives de la unitat: \[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1\leq a \leq n\\\mcd(a,n)=1}} (x-\zeta_n^a). \]

Tenim la factorització \[ x^n - 1= \prod_{\zeta \in \mu_n} (x-\zeta) = \prod_{d\mid n} \Phi_d(x). \] En particular, comparant graus tenim la identitat \[ n = \sum_{d \mid n} \varphi(d). \]

A més, fixem-nos que la fórmula anterior ens permet calcular els polinomis ciclotòmics de manera recursiva, dividint pels factors coneguts: \[\begin{equation} \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{\displaystyle\prod_{\substack{d \mid n\\d < n}} \Phi_d(x)}. \tag{5.1} \end{equation}\]

Els primers valors són, per exemple:

\[\begin{align*} \Phi_1(x) &= x-1&\Phi_2(x) &= x+1\\ \Phi_{3}(x) &= x^{2} + x + 1 &\Phi_{4}(x) &= x^{2} + 1 \\ \Phi_{5}(x) &= x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 &\Phi_{6}(x) &= x^{2} - x + 1 \\ \Phi_{7}(x) &= x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 & \Phi_{8}(x) &= x^{4} + 1 \\ \Phi_{9}(x) &= x^{6} + x^{3} + 1 & \Phi_{10}(x) &= x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \end{align*}\]

Lema 5.3 Els polinomis \(\Phi_n(x)\) són mònics de grau \(\varphi(n)\) i tenen coeficients enters.

Prova. L’únic que ens cal veure és que \(\Phi_n(x)\) té coeficients enters. Això es veu fàcilment per inducció en \(n\) i l’algoritme de divisió, fent servir la fórmula (5.1).

Amb una mica més de feina podem veure que també són irreductibles.

Teorema 5.1 Els polinomis \(\Phi_n(x)\) són irreductibles.

Prova. Prenem \(n\geq 3\), i escrivim una factorització \(\Phi_n(x)=f(x)g(x)\) amb \(f(x)\) i \(g(x)\) mònics a \(\ZZ[x]\), i amb \(f(x)\) irreductible de grau com a mínim \(2\). L’objectiu és demostrar que \(f(x)=\Phi_n(x)\), és a dir, que tota arrel primitiva \(n\)-èssima és arrel de \(f(x)\). Sigui doncs \(\zeta\) una arrel \(n\)-èssima primitiva que sigui arrel de \(f(x)\), i veurem que \(\zeta^a\) també és arrel de \(f(x)\) per a tot \(a\) coprimer amb \(n\). N’hi ha prou amb veure-ho per \(a=p\) un primer no dividint \(n\), perquè aleshores podem iterar l’argument.

Com que \(\zeta^p\) és una arrel primitiva de la unitat, ha de ser una arrel de \(f(x)\) o de \(g(x)\). Si \(g(\zeta^p)=0\), aleshores \(\zeta\) és una arrel de \(g(x^p)\). Per tant, a \(\ZZ[x]\) tenim \[ g(x^p) = f(x)h(x). \] Reduint mòdul \(p\) i fent servir el “Freshman’s dream”, tenim \[ (\bar{g}(x))^p = \bar{f}(x)\bar{h}(x) \text{ a } \FF_p[x]. \] D’aquí en deduïm que \(\bar{f}(x)\) i \(\bar{g}(x)\) tenen un factor comú a \(\FF_p[x]\). Per tant, \(\bar{\Phi}_n(x)=\bar{f}(x)\bar{g}(x)\) té un factor repetit, i com que \(\Phi_n(x)\) divideix \(x^n-1\), també \(x^n-1\) té un factor repetit a \(\FF_p[x]\). Però ja hem vist que aquest polinomi no té factors repetits, i per tant tenim una contradicció.

Corol·lary 5.5 El cos ciclotòmic \(\QQ(\zeta_n)\) té grau \(\varphi(n)\) sobre \(\QQ\).