Episodi 7. Automorfismes

Començarem definint els automorfismes d’una extensió. Veurem que formen un grup, i que cada subgrup té associat el cos dels elements fixos per aquest. Veurem també que els automorfismes envien cada element \(\alpha\) a una arrel del seu polinomi mínim, i demostrarem que en una extensió normal el cardinal del grup d’automorfismes està fitat pel grau de l’extensió. Així, podrem definir una extensió de Galois com aquella on aquesta fita s’assoleix.

7.1 Definició

Sigui \(K\) un cos. Un automorfisme de \(K\) és un isomorfisme de \(K\) a \(K\). El grup d’automorfismes de \(K\) (amb la composició) s’escriu \(\Aut(K)\).

Si \(\alpha\in K\), diem que \(\sigma\in \Aut(K)\) fixa \(\alpha\) si \(\sigma(\alpha)=\alpha\). Més en general, si \(S\) és un subconjunt de \(K\), diem que \(\sigma\in\Aut(K)\) fixa \(S\) si \(\sigma(x)=x\) per a tot \(x\in S\).

Observem que tot automorfisme fixa el cos primer de \(K\) (exercici). En particular, \(\Aut(\QQ)=\Aut(\FF_p)=1\).

Un cas important de subconjunt \(S\) es dona quan tenim una extensió de cossos \(K/F\). En aquest cas, escrivim \(\Aut(K/F)\) com el grup d’automorfismes que fixen \(F\) (que és un subgrup d’\(\Aut(K)\)):

\[ \Aut(K/F) =\{\sigma \in \Aut(K) ~|~ \sigma(x)=x\,\forall x \in F\}. \]

Proposició 7.1 Sigui \(K/F\) una extensió, i sigui \(\alpha\in K\) un element algebraic sobre \(F\). Aleshores per tot \(\sigma\in \Aut(K/F)\) envia \(\alpha\) a una arrel \(\sigma(\alpha)\) de \(\Irr(\alpha,F)(x)\).

Prova. Com que \(\Irr(\alpha,F)(x)\) té coeficients a \(F\) i \(\sigma\) és un morfisme de cossos, tenim \[ \Irr(\alpha,F)(\sigma(\alpha)) = \sigma(\Irr(\alpha,F)(\alpha)) = \sigma(0)=0. \]

Corol·lary 7.1 Sigui \(f(x)\in F[x]\) un polinomi irreductible i \(K/F\) és una extensió. Aleshores tot automorfisme \(\sigma\in\Aut(K/F)\) permuta les arrels de \(f(x)\) a \(K\).

Corol·lary 7.2 () Sigui \(K/F\) una extensió algebraica. Aleshores \(\Hom_F(K, K) = \Aut(K/F)\).

Prova. Sigui \(\sigma \colon K\to K\) un morfisme que fixa \(F\). Ja sabem que és injectiu, però volem veure que és exhaustiu. Si \(K/F\) és una extensió finita això ja ho sabem (per àlgebra lineal), però aquí ho volem veure en general. Sigui \(\beta \in K\) qualsevol element. Considerem el conjunt \[ B = \{\text{arrels de } \Irr_{\beta,F}(x) \text{ a } K \}. \] Aleshores \(\sigma\) indueix una aplicació injectiva al conjunt finit \(B\) i, per tant, també exhaustiva. Per tant hi ha \(\alpha\in B\subseteq K\) tal que \(\sigma(\alpha)=\beta\).

Aquests resultats ens permeten descriure el grup d’automorfismes d’extensions algebraiques considerant com actuen aquests automorfismes en els elements que generen l’extensió, ja que tot automorfisme quedarà únicament determinat per aquesta acció. En particular, quan \(K/F\) és finita el nombre d’automorfismes també serà finit.

Exemple 7.1 Els automorfimes de \(\QQ(\sqrt{2})/\QQ\) són \(\Aut(\QQ(\sqrt{2})/\QQ)=\{1,\sigma\}\), on \(\sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\). Tot automorfisme ve determinat per on envia \(\sqrt{2}\), i per tant aquests són tots.

D’altra banda, si repetim el càlcul a \(\QQ(\sqrt[3]{2})\), veiem que no té cap automorfisme no trivial. Com que \(x^3-2\) només té una arrel real, qualsevol automorfisme l’haurà de fixar i, per tant \(\Aut(\QQ(\sqrt[3]{2})/\QQ) = 1\).

7.2 Cossos fixos

Fixem \(K\) un cos. Hem vist com associar a cada subcos \(F\subseteq K\) un subgrup \(\Aut(K/F)\) d’\(\Aut(K)\). Prenem ara la direcció oposada. Associarem a cada subgrup d’automorfismes una certa extensió. Concretament, si \(S \subseteq \Aut(K)\) és un subconjunt, podem considerar aquells elements de \(K\) que són fixos per tots els elements de \(S\). És molt fàcil veure que aquest conjunt, que escriurem \(K^S\) i anomenarem el cos fix per \(S\), és un subcos de \(K\) (exercici). Fixem-nos també que \[ K^S = K^{\langle S\rangle}, \] on \(\langle S \rangle\) és el subgrup d’\(\Aut(K)\) generat per \(S\) (el subgrup més petit que conté \(S\)). Per tant, normalment considerarem només cossos fixos per subgrups d’\(\Aut(K)\) i no perdrem generalitat.

Lema 7.1 Sigui \(K\) un cos.

• Si \(F1\subseteq F_2\subseteq K\), aleshores \(\Aut(K/F_2)\leq \Aut(K/F_1)\).
• Si \(H_1\leq H_2 \leq \Aut(K)\), aleshores \(K^{H_2} \subseteq K^{H_1}\).

Prova. Trivial.

Lema 7.2 Sigui \(F\) un cos infinit, i sigui \(V\) un \(F\)-espai vectorial de dimensió finita. Siguin \(V_1,\ldots,V_r\) subespais propis. Aleshores \(V\neq \bigcup V_i\).

Prova. Fem inducció en la dimensió \(n\) de V. El cas \(n=1\) és trivial, així que podem assumir-ho cert per tot \(F\)-espai vectorial de dimensió \(\leq n-1\) i ho demostrarem per \(V\). Triem un subespai \(U\subset V\) de dimensió \(n-1\) diferent de tots els \(V_i\) (aquí utilitzem que \(F\) és infinit). Aleshores apliquem inducció als subespais \(U\cap V_i\) d’\(U\), i obtenim un element d’\(U\) que ja ens serveix.

Remarca. El lema també és cert quan \(V\) és de dimensió infinita (exercici), però no ens caldrà per les aplicacions.

Proposició 7.2 Sigui \(K/F\) una extensió finita, i siguin \(K_1,\ldots,K_r\) subextensions diferents de \(K\). Aleshores hi ha algun element de \(K\) que no pertany a cap dels \(K_i\).

Prova. Si \(F\) és infinit, ja estem pel lema anterior. Fem doncs el cas on \(F\) és finit. En aquest cas \(K\) també és finit, posem que té \(p^n\) elements. Aleshores els \(K_i\) també són finits, i tenen \(p^i\) elements cadascun. Com que tots són diferents i hi ha un únic cos finit de cada cardinal, la unió dels \(K_i\) té com a molt \[ \sum_{j=0}^{n-1} p^j = \frac{p^n-1}{p-1} \] elements, que és menor que \(p^n\).

Teorema 7.1 Sigui \(K/F\) una extensió finita. Aleshores \[|\Aut(K/F)| \leq [K\colon F].\]

En particular, \(\Aut(K/F)\) és un grup finit.

Prova. Suposem que \(\Aut(K/F)\) conté \(\sigma_1=1,\ldots,\sigma_{n}\) automorfismes diferents. Per cada \(i\neq j\), considerem el conjunt \[ \Eq_{\sigma_i,\sigma_j} = \{x \in K ~|~ \sigma_i(x)=\sigma_j(x)\}. \] És fàcil veure que \(\Eq_{\sigma_i,\sigma_j}\subsetneq K\) i que \(\Eq_{\sigma_i,\sigma_j}\) és un cos. Aplicant la proposició anterior, hi ha algun \(\alpha\in K\) que no està en cap dels \(\Eq_{\sigma_i,\sigma_j}\). El polinomi mínim d’\(\alpha\) sobre \(F\) té arrels \(\alpha, \sigma_2(\alpha),\ldots,\sigma_{n}(\alpha)\), que són totes diferents. Per tant \([F(\alpha)\colon F]\geq n\). Però \(F(\alpha)\) és una subextensió de \(K\) i, per tant \([K\colon F]\geq n\).

Donarem un nom doncs a aquelles extensions que tinguin el nombre màxim d’automorfismes que permet aquesta fita.

Definició 7.1 (extensió de Galois) Sigui \(K/F\) una extensió finita. Diem que \(K\) és Galois sobre \(F\) (o que \(K/F\) és una extensió de Galois) si \(|\Aut(K/F)| = [K \colon F]\). En aquest cas, escriurem \(\Gal(K/F) = \Aut(K/F)\).

Corol·lary 7.3 Sigui \(K/F\) una extensió finita i Galois. Aleshores \(K^{\Gal(K/F)} = F\).

Prova. Escrivim \(G=\Gal(K/F)\), i sigui \(M=K^{G}\supseteq F\). Tenim, per definició, que \(G = \Aut(K/M)\). Per tant, \([K\colon F] = |G|\leq [K\colon M]\), del que en deduim \(F = M\).

Corol·lary 7.4 Sigui \(K/F\) una extensió finita i Galois. Aleshores hi ha un polinomi irreductible i separable \(f(x)\in F[x]\) de grau \([K\colon F]\) que descomposa completament a \(K\).

Prova. Sigui \(n=[K\colon F]=|\Gal(K/F)|\). A la demostració del teorema, prenem tots els \(n\) automorfismes, obtenint \(\alpha\in K\) tal que \(F(\alpha) = K\). El seu polinomi mínim \(f(x)\in F[x]\) és irreductible, de grau \(n\) i té per arrels \(\{\sigma(\alpha) ~|~\sigma\in \Aut(K/F)\}\). Per tant té \(n\) arrels totes diferents, com volíem.

Les dues propietats de les extensions de Galois de fet les caracteritzen. Vegem una quarta caracterització d’aquestes extensions:

Teorema 7.2 (Caracterització d'extensions de Galois) Sigui \(K/F\) una extensió finita i sigui \(G=\Aut(K/F)\). Aleshores els següents enunciats són equivalents:

1. \(|G| = [K\colon F]\).
2. \(F = K^G\).
3. \(K/F\) és normal i separable.
4. Hi ha un polinomi \(f(x)\in F[x]\) irreductible i separable de grau \([K\colon F]\) que descomposa completament a \(K\).

Prova. Ja hem vist \(1 \implies 2\) i \(1 \implies 4\). Fixem-nos també que \(4\implies 3\) és obvi. - \(2 \implies 3\): Suposem que \(K=F(\alpha_1,\ldots, \alpha_m)\), i considerem el conjunt finit \[ B = \{\sigma(\alpha_i) ~|~ \sigma \in G, i = 1,\ldots, m\}. \] Fixem-nos que no sabem quants elements exactament conté \(B\). En tot cas, considerem el polinomi separable \[ f(x) = \prod_{\beta \in B} (z - \beta). \] Observem que \(\sigma(f)=f\) per a tot \(\sigma\in G\) i, per tant, \(f \in K^G[x]=F[x]\). Finalment, \(\alpha_i\) és arrel de \(f(x)\) per a tot \(i=1,\ldots, m\) i concloem que \(K\) és el cos de descomposició de \(f(x)\).

• \(3 \implies 1\): Suposem que \(K/F\) és el cos de descomposició d’un polinomi separable \(f(x)\in F[x]\). Com s’ha indicat al Corol·lari 4.3, a cada pas podem prendre per \(\alpha\) una arrel del polinomi \(f(x)\) i per tant tindrem la igualtat.

Remarca. Suposem que \(K/F\) és de Galois, i sigui \(\alpha\in K\) una arrel del polinomi \(f(x)\) que apareix a la condició \((4)\). Aleshores \(K=F(\alpha)\). Veiem doncs que tota extensió finita de Galois és primitiva. Més endavant veurem que només cal que \(K/F\) sigui separable.

Si \(K/F\) és una extensió de Galois i \(\alpha\in K\), els elements \(\sigma(\alpha)\) (on \(\sigma\in\Gal(K/F)\)) s’anomenen conjugats de Galois d’\(\alpha\) sobre \(F\). Si \(K/M/F\) és una subextensió, el cos \(\sigma(M)\) s’anomena el conjugat de \(M\) per \(\sigma\).