A Seminaris
A.1 Seminari 1: Polinomis simètrics
Sigui \(A\) un anell domini i siguin \(X_1,\dotsc,X_n\) indeterminades. Sigui \(\Sigma_n\) el grup simètric en \(\{1,\dotsc,n\}\). Donada una permutació \(\sigma\in \Sigma_n\) definim \(\sigma\cdot f(X_1,\dotsc,X_n)=f(X_{\sigma(1)},\dotsc,X_{\sigma(n)})\). Per exemple, si \(f=X_1^2X_2-X_3\) i considerem les permutacions \(\rho=(1\,3)\), \(\sigma=(1\,2\,3)\), aleshores \(\rho\cdot f=X_3^2X_2-X_1\) i \(\sigma\cdot f=X_2^2X_3-X_1\).
Definició:. Un polinomi \(f\in A[X_1,\dotsc,X_n]\) s’anomena simètric si \(\sigma\cdot f=f\) per a tota \(\sigma\in\Sigma_n\).
És fàcil veure que el conjunt dels polinomis simètrics és un subanell \(S\subseteq A[X_1,\dotsc,X_n]\) que conté \(A\). Sigui \(Y\) una altra indeterminada. Podem considerar el polinomi en \(Y\) \[F(Y,X_1,\dotsc,X_n)=(Y-X_1)\dotsb(Y-X_n)=Y^n-s_1Y^{n-1}+\dotsb+(-1)^ns_n\] amb coeficients a \(A[X_1,\dotsc,X_n]\). Els polinomis que apareixen com a coeficients \(s_1=X_1+\dotsb+X_n,\dotsc,s_n=X_1\dotsb X_n\) són polinomis simètrics, i s’anomenen polinomis simètrics elementals. Fixeu-vos que el polinomi \(s_i\) és homogeni de grau \(i\), per a tot \(i\geq 1\). Considerarem el morfisme d’anells \[\iota\colon A[S_1,\ldots,S_n]\to S\subseteq A[X_1,\ldots,X_n], \quad f(S_1,\ldots,S_n)\mapsto f(s_1,\ldots,s_n).\]
Sigui \(g(S_1,\ldots,S_n)=CS_1^{e_1}\dotsb S_n^{e_n}\) un monomi no nul. El polinomi simètric \(\iota(g)\) té grau total \(e_1+2e_2+\cdots+ne_n\), és el que s’anomena el pes del monomi. Si \(g\in A[S_1,\dotsc,S_n]\), el pes de \(g\) és el màxim dels pesos dels monomis no nuls de \(g\). L’objectiu del exercicis és demostrar el següent resultat, que diu que \(\iota\) és injectiva i té com a imatge exactament el subanell dels polinomis simètrics.
Teorema fonamental dels polinomis simètrics:. Sigui \(f\in S\subseteq A[X_1,\dotsc,X_n]\) un polinomi simètric de grau \(d\). Aleshores existeix un únic polinomi \(g\in A[S_1,\dotsc,S_n]\) de pes menor o igual que \(d\) tal que \[f(X_1,\dotsc,X_n)=g(s_1,\dotsc,s_n).\]
Demostreu que tot polinomi \(f(X_1,\ldots,X_n)\) es pot escriure com a suma de polinomis homogenis, i que si \(f(X_1,\ldots, X_n)\) és simètric aleshores cadascun dels termes homogenis també és simètric.
Demostreu que \(\iota(S_1^{e_1}S_2^{e_2}\cdots S_n^{e_n})\) és un polinomi homogeni de grau \(e_1+2e_2+\cdots +ne_n\).
Demostreu que donat un polinomi homogeni simètric \(f(X_1,\ldots,X_n)\), si \(\operatorname{LT}(f)=aX_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\) aleshores \(\operatorname{LT}(f) = \operatorname{LT}(\iota(aS_1^{e1-e2}S_2^{e2-e3}\cdots S_n^{e_n}))\).[^1]
Demostreu per inducció que \(\iota\) és una bijecció entre \(A[X_1,\ldots,X_n]\) i \(S\).
Expresseu els següents polinomis en termes de polinomis simètrics elementals: \((X_1-X_2)^2\), \(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2\), \(X_1^2X_2^2 + X_1^2X_3^2 + X_2^2X_3^2\), \(\sum_{i\neq j} X_i^2X_j\),\(\sum_{i\neq j} (X_i-X_j)^2\).
Hi ha un altre procediment possible per expressar un polinomi simètric donat en termes de simètrics elementals, que s’anomena el mètode dels coeficients indeterminats. Suposem que \(f\) és simètric homogeni de grau \(d\), i sigui \(N\) el màxim grau en què apareix cap de les variables.
Feu una estimació de quants monomis \(a_iS_1^{e_1}S_2^{e_2}\dots S_n^{e_n}\) poden aparèixer a \(g\) si \(\iota(g)=f\), a partir de les restriccions \[e_1+2e_2+\cdots +ne_n = d,\quad e_1+e_2+\cdots+e_n \leq N.\]
Expressant el polinomi \(f\) com una combinació lineal de totes les possibilitats de l’apartat anterior (\(d=3\) i \(N=3\)) i substituïnt les variables a suficients valors, trobeu l’expressió de \(f(X_1,X_2,X_3,X_4) = (X_1+X_2+X_3+X_4)(X_1+X_3-X_2-X_4)(X_1+X_4-X_2-X_3)\) com a polinomi en els simètrics elementals (demostreu primer que \(f\) és simètric).
A.2 Seminari 2: Grups d’ordre petit
L’objectiu del seminari és estudiar tots els grups d’ordre fins a \(15\). Cal recordar com és el reticle de subgrups dels grups cíclics finits, que es correspon amb el reticle de divisors del seu cardinal. També cal recordar els teoremes de Sylow, que ens serviran per estudiar els grups amb cardinal una mica més gran. Aquí tenim la taula amb tots ells.
| Ordre | Classes isomorf | Grups |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(C_1\) |
| \(2\) | \(1\) | \(C_2\) |
| \(3\) | \(1\) | \(C_3\) |
| \(4\) | \(2\) | \(C_4\), \(C_2\times C_2\) |
| \(5\) | \(1\) | \(C_5\) |
| \(6\) | \(2\) | \(C_6\), \(S_3\) |
| \(7\) | \(1\) | \(C_7\) |
| \(8\) | \(5\) | \(C_8\), \(C_4 \times C_2\), \(D_{2\times 4}\), \(Q_8\), \(C_2 \times C_2 \times C_2\) |
| \(9\) | \(2\) | \(C_9\), \(C_3 \times C_3\) |
| \(10\) | \(2\) | \(C_{10}\), \(D_{2\times 5}\) |
| \(11\) | \(1\) | \(C_{11}\) |
| \(12\) | \(5\) | \(C_{12}\), \(C_6 \times C_2\), \(A_4\), \(D_{2\times 6}\), \(\operatorname{Dic}_{12}\) |
| \(13\) | \(1\) | \(C_{13}\) |
| \(14\) | \(2\) | \(C_{14}\), \(D_{2\times 7}\) |
| \(15\) | \(2\) | \(C_{15}\) |
D’aquesta taula, els grups \(Q_8\) (grup quaterniònic) i \(\operatorname{Dic}_{12}\) (dicíclic d’ordre \(12\)) tenen les següents presentacions: \[ Q_8 = \langle x, y \mid x^2y^{-2}=x^4=xyx^{-1}y=1\rangle,\quad \operatorname{Dic}_{12} = \langle x, y \mid x^4=y^3=xyx^{-1}y^{-2}\rangle. \]
- Dibuixeu el reticle dels grup cíclics \(C_{4}\), \(C_8\) i \(C_{12}\).
- Dibuixeu el reticle dels grups \(C_2\times C_2\) i \(C_3\times C_9\).
- Doneu el reticle (amb generadors) dels grups \((\ZZ/n\ZZ)^\times\) amb \(n=7,8,12\).
- Trobeu el reticle de subgrups de \(S_3\) i indiqueu quins dels subgrups són normals.
- En els següents exercicis estudiem els grups diedrals:
- Trobeu una immersió del grup diedral \(D_{2\times n}\) a \(S_n\).
- Doneu el reticle de subgrups de \(D_{2\times 4}\), indicant quins subgrups són normals.
- Trobeu un subgrup d’\(S_4\) que sigui isomorf a \(D_{2\times 4}\). És normal a \(S_4\), aquest subgrup?
- Demostreu que si \(H\leq S_4\) és un subgrup amb \(8\) elements, aleshores \(H\cong D_{2\times 4}\).
- Trobeu els \(2-\) i \(3-\) subgrups de Sylow del grup alternat \(A_4\), i digueu quins d’ells són normals.
- Els següents exercicis estudien els subgrups transitius de \(S_n\).
- Demostreu que el conjugat d’un subgrup transitiu també ho és.
- Demostreu que si \(H\leq S_n\) és un subgrup transitiu, aleshores \(|H|\) és múltiple de \(n\).
- Demostreu que si \(H\leq S_n\) és un subgrup transitiu i abelià, aleshores \(|H|=n\).
- Demostreu que els únics subgrups transitius de \(S_4\) són \(S_4\), \(A_4\), els que són isomorfs a \(D_{2\times 4}\), els que són isomorfs a \(C_4\), i \(V=\{\id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}\).
- Aquest exercici ens ajudarà a decidir quan un subgrup d’\(S_n\) és tot \(S_n\).
- Demostreu que si \((a_1,\ldots,a_k)\) és un cicle, aleshores per a tot \(\sigma\in S_n\) tenim \[ \sigma (a_1,\ldots,a_k) \sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\ldots,\sigma(a_k)). \]
- Demostreu que el grup generat per \((1,2)\) i \((1,2,\ldots, n)\) és tot \(S_n\).
- Demostreu que si \(p\) és primer i \(H\leq S_p\) és un subgrup transitiu que conté una transposició, aleshores \(H=S_n\).
A.3 Seminari 3: Càlcul de grups de Galois
L’objectiu del seminari és calcular el grup de Galois de polinomis biquadràtics. Considerem un polinomi \[ f(x)=x^4+ax^2+b \in F[x], \] i definim \(\Delta=a^2-4b\). Suposem que \(f(x)\) és irreductible, i definim \(K\) com el cos de descomposició de \(f(x)\).
- Demostreu que \(\Delta\) no és un quadrat a \(F\).
- Demostreu que si \(b\) és un quadrat a \(F\), llavors \(\Gal(K/F)\cong \ZZ/2\ZZ \times \ZZ/2\ZZ\). Calculeu el reticle de subcossos.
- Demostreu que si \(b\Delta\) és un quadrat a \(F\), llavors \(\Gal(K/F)\cong \ZZ/4\ZZ\). Calculeu el reticle de subcossos.
- Demostreu que si ni \(b\) ni \(b\Delta\) són quadrats a \(F\), llavors \(\Gal(K/F) \cong D_{2\times 4}\).
- Calculeu, de cadascun dels polinomis següents, el cos de descomposició, el grup de Galois i el reticle de subcossos:
- \(x^4 - 6x^2 + 2\),
- \(x^4 + 2x^2 + 4\),
- \(x^4 - 5x^2 + 5\)