Episodi 4. Normalitat

El cos de descomposició d’un polinomi juga un paper destacat al llarg del curs. Aquí el definirem, i en demostrarem l’existència i unicitat (llevat d’isomorfisme). Aprofitarem per definir extensions normals (aquelles que són cos de descomposició d’un conjunt de polinomis).

4.1 Cossos de descomposició

Diem que un polinomi $f(x)\in F[x]$ descomposa completament en una extensió $K/F$ si es pot escriure com a producte de polinomis de grau $1$.

Definició 4.1 (cos de descomposició) Una extensió $K/F$ és un cos de descomposició del polinomi $f(x)\in F[x]$ si $f(x)$ descomposa completament a $K$ i no ho fa en cap subextensió $K/K'/F$.

Teorema 4.1 (existència del cos de descomposició) Sigui $f(x)\in F[x]$. Aleshores existeix un cos de descomposició $K/F$ de $f(x)$.

Prova. Farem inducció en el grau d’$f$, essent el cas $n=1$ trivial. Suposem l’enunciat cert per tots els polinomis de grau $ < n$ definits sobre qualsevol cos, i ho demostrarem per $f(x)\in F[x]$ de grau $n$. Pel Teorema 1.1, hi ha una extensió $L/F$ que conté una arrel $\alpha\in L_0$ de $f(x)$. Dividint per $(x-\alpha)$ obtenim un polinomi $f_0(x)\in L_0[x]$ de grau $n-1$. Per hipòtesi d’inducció, existeix una extensió $L/L_0$ on $f_0(x)$ (i per tant també $f(x)$) descomposa completament. Aleshores podem prendre per $K/F$ la intersecció de totes les subextensions $L/K'/F$ on $f(x)$ descomposa completament. Per construcció, $K/F$ és un cos de descomposició de $f(x)$.

Fixem-nos que cada vegada que adjuntem una arrel d’un polinomi de grau $n$, aquest polinomi tindrà un cofactor com a molt de grau $n-1$. Així, per obtenir un cos de descomposició en el pitjor dels casos haurem de fer una extensió de grau $n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!$.

Podem fer servir la fórmula de les torres per demostrar una versió més forta d’aixecament de morfismes.

Teorema 4.2 (teorema d'aixecament d'isomorfismes) Sigui $K/F$ una extensió finita, i sigui $L/F$ una extensió. Aleshores: \[ |\Hom_{F} (K, L)| \leq [K\colon F]. \]

Prova. Farem inducció en el grau $n=[K\colon F]$. Quan $n=1$, el resultat és trivial. En general, prenem un element $\alpha\in K\setminus F$ i fem servir la fórmula de les torres i 1.4. El cardinal de $\Hom_F(F(\alpha), L)$ és igual al nombre d’arrels d’$\Irr_{\alpha, F}(x)$ a $L$, que com a molt és $[F(\alpha) \colon F]$.

En tot cas, si $\tilde\sigma$ és un d’aquests morfismes, com que $[K \colon F(\alpha)]< [K\colon F]$ podem aplicar la hipòtesi d’inducció i $\tilde\sigma$ es pot aixecar a com a molt $[K\colon F(\alpha)]$ morfismes a $L$.

Revisant la demostració anterior, obtenim els següents corol·laris.

Corol·lary 4.1 Siguin $K/F$ i $L/F$ extensions d’un cos $F$. Si existeix $\alpha\in K$ tal que $\Irr_{\alpha,F}(x)$ no té cap arrel a $L$, aleshores no existeix cap $F$-morfisme $K\to L$.

Corol·lary 4.2 Sigui $\sigma\colon F\to L$ un morfisme donat, suposem que $K=F(\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$ amb polinomis mínims $g_i(x)$. Suposem que $\sigma(g_i)(x)$ té una arrel a $L$ per a tot $i$. Aleshores existeix $\psi\colon K\to L$ tal que $\psi|_{F} = \sigma$.

Corol·lary 4.3 Suposem que tot polinomi irreductible a $F$ amb una arrel a $K$ descomposa completament a $L$. Aleshores \[ |\Hom_{F} (K, L)| = [K\colon F]. \]

Proposició 4.1 (unicitat del cos de descomposició) Siguin $K/F$ i $K'/F$ dos cossos de descomposició de $f(x)\in F[x]$. Aleshores $K \cong K'$.

Prova. Prenem $L = K'$ al Teorema 4.2 i en repetim la demostració. A cada pas, podem prendre com a $\alpha$ una arrel de $f(x)$ i sempre obtindrem arrels a $K'$ perquè $f(x)$ hi trenca completament.

Exemple 4.1 El cos de descomposició de $x^2-2$ és $\QQ(\sqrt{2})$. Considerem el polinomi $(x^2-2)(x^2-3)$. En aquest cas, el seu cos de descomposició ha de contenir $\QQ(\sqrt{2})$ i $\QQ(\sqrt{3})$ i, per tant, el seu grau ha de ser parell i més gran que $2$. Sigui $K=\QQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$, que és un cos de grau $4$. El polinomi factoritza com $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ i per tant $K$ és el cos de descomposició que busquem.

Un cas una mica més interessant és el del polinomi $x^3-2$. El seu cos de descomposició ha de contenir $\alpha=\sqrt[3]{2}$, però quan fem la divisió obtenim: \[ x^3-2 = (x-\alpha)(x^2 + \alpha x + \alpha^2). \] Fixem-nos que si $\alpha$ i $\beta$ són dues arrels diferents de $x^3-2$ en el cos de descomposició $L/\QQ$, aleshores $(\alpha/\beta)^3 =1$. Per tant, $\alpha/\beta$ satisfà el polinomi $(x^3-1)/(x-1) = x^2+x+1$, que ja sabem que és irreductible a $\QQ$. Per tant, $L$ ha de contenir també $\zeta_3$, i obtenim finalment que $L=\QQ(\alpha,\zeta_3)$, que és un cos de grau $6$ sobre $\QQ$.

Finalment, observem que a vegades el cos de descomposició pot ser de grau més petit que el polinomi amb què comencem. Per exemple, el cos de descomposició de $x^4+4$ és simplement $\QQ(i)$, que té grau $2$.

Exemple 4.2 (cossos ciclotòmics) Calculem el cos de descomposició del polinomi $x^n-1$. Les seves arrels s’anomenen arrels $n$-èssimes de la unitat. En els complexos les arrels són els nombres $e^{\frac{2\pi i}{n}}$, amb $n=0,\ldots,n-1$. Per tant $\CC$ conté el cos de descomposició de $x^n-1$. En general, si $K/\QQ$ és un cos de descomposició de $x^n-1$, aleshores podem veure que aquestes formen un grup amb la multiplicació que, de fet, és cíclic. Diem que una arrel de la unitat $\zeta_n$ és primitiva si és un generador d’aquest grup. Si en fixem una, les altres primitives són de la forma $\zeta_n^a$, amb $a$ coprimer amb $n$. Hi ha, doncs, $\varphi(n)$ arrels primitives.

Anomenem cos ciclotòmic $n$-èssim al cos $\QQ(\zeta_n)$, que és el cos de descomposició de $x^n-1$: si adjuntem $\zeta_n$, automàticament totes les seves potències pertanyen a aquest cos. A la Secció 5.2 aprendrem com calcular el grau d’aquest cos, però –a tall d’espòiler– podem veure fàcilment que quan $n=p$ és primer, aleshores \[ x^p -1 = (x-1)(x^{p-1}+x^{p-1}+\cdots+x+1), \] i ja hem vist que el polinomi $\Phi_p(x)= x^{p-1}+x^{p-1}+\cdots+x+1$ és irreductible. Per tant, tenim \[ [\QQ(\zeta_p)\colon\QQ]=p-1. \]

Exemple 4.3 Calcularem ara el cos de descomposició de $x^p-2$, on $p$ és un primer. Si anomenem $\alpha$ una arrel d’aquest polinomi, aleshores les altres arrels són de la forma $\alpha\zeta$, on $\zeta$ és una arrel $p$-èssima de la unitat. Podem veure fàcilment que el cos de descomposició és $L = \QQ(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)$.

Tenim la torre $L / \QQ(\zeta_p) / \QQ$ i $L/\QQ(\zeta_p)$ té grau com a molt $p$, ja que està generada per $\sqrt[p]{2}$. Per tant, es té la desigualtat $[L\colon\QQ]\leq p(p-1)$. Com que $L$ té subcossos de grau $p$ i de grau $p-1$, aquests dos nombres divideixen el grau de l’extensió total i, com que són coprimers, en deduïm que el grau és exactament $p(p-1)$. Ho podem il·lustrar amb el diagrama següent: \[ \xymatrix{ & \QQ(\sqrt[p]{2},\zeta_p) \\ \QQ(\zeta_p)\ar@{-}^{p}[ur]\ar@{-}^{p-1}[dr] &&\QQ(\sqrt[p]{2})\ar@{-}[ul]_{p-1}\ar@{-}[dl]_{p}\\ &\QQ } \]

4.2 Extensions normals

Acabem explicant el concepte d’extensió normal, i les seves propietats bàsiques.

Definició 4.2 (extensió normal) Una extensió algebraica $K/F$ es diu normal si tot polinomi irreductible $f(x)\in F[x]$ que té una arrel a $K$ trenca completament a $K$.

Dit d’una altra manera $K/F$ és normal si per tot $\alpha\in K$ el seu polinomi mínim sobre $F$ descomposa completament a $K$. D’entrada, sembla difícil demostrar que una extensió donada $K/F$ és normal, ja que cal veure una propietat per possiblement infinits polinomis. Veurem ara que les extensions normals tenen una caracterització més senzilla. En particular, el cos de descomposició d’un polinomi és sempre una extensió normal.

Lema 4.1 Suposem que $K/F$ és el cos de descomposició d’un conjunt finit de polinomis $f(x)\in F[x]$. Aleshores $K/F$ és normal.

Prova. Sense perdre generalitat podem assumir, prenent el producte de tots els polinomis en el conjunt finit de l’enunciat, que $K/F$ és el cos de descomposició d’un polinomi $g(x)\in F[x]$ amb arrels $\gamma_1,\ldots,\gamma_n$. Sigui ara $\alpha\in K$ una arrel d’un polinomi $f(x)$, que podem suposar irreductible. Volem veure que si $\beta$ és una arrel de $f(x)$, aleshores $\beta\in K$.

Sigui $L$ el cos de descomposició de $f(x)g(x)$, i considerem els subcossos $F(\alpha)$ i $F(\beta)$. Hi ha un isomorfisme $\sigma \in \Hom_F(F(\alpha), F(\beta))$ i podem composar-lo amb la inclusió $F(\beta) \subset K(\beta)$. Considerem aleshores el diagrama \[ \xymatrix{ K\ar@{-->}^{\psi}[r]\ar@{-}[d] & K(\beta)\\ F(\alpha)\ar[ur]^{\sigma}. } \] Pel Corol·lari 4.2, obtenim $\psi\colon K\to K(\beta)$ estenent $\sigma$. Observem que, com que $f(x)\in F[x]$, tenim $\psi(f)=f$. Per tant, \[ 0 = \psi(g(\gamma_i)) = g(\psi(\gamma_i)) \implies \psi(\gamma_i)\in K. \] D’aquí en traiem que $\psi(K)\subseteq K$. En particular, $\beta=\psi(\alpha)\in K$, com volíem demostrar.

Proposició 4.2 Una extensió $K/F$ és normal si i només si $K$ és el cos de descomposició d’un conjunt $S\subset F[x]$ de polinomis de $F$.

Prova. Suposem que $K/F$ és normal. Per cada element $\alpha\in K$, denotem per $f_\alpha(x)=\Irr_{\alpha,F}(x)$. Aleshores $K$ és el cos de descomposició del conjunt $S=\{f_\alpha(x)~|~ \alpha\in K\}$.

Recíprocament, si $K$ és el cos de descomposició d’un conjunt $S$ i $f(x)\in F[x]$ té una arrel $\alpha\in K$, aleshores sense perdre generalitat podem suposar que $f(x)$ és irreductible. Considerem el conjunt $\Sigma\subset K$ d’elements de $K$ que són arrels de polinomis a $S$. Podem trobar un subconjunt finit $S_0$ i el seu corresponent conjunt d’arrels $\Sigma_0$ tals que $\alpha\in F(\Sigma_0)$. Però aleshores $F(\Sigma_0)$ és un cos de descomposició d’un polinomi (el que s’obté multiplicant tots els polinomis de $S_0$ i extraient-ne la part lliure de quadrats). El lema anterior ens garanteix que $f(x)$ descomposa completament a $F(\Sigma_0)$ i per tant també a $K$.

Proposició 4.3 Sigui $L/K/F$ una torre. Si $L/F$ és normal, aleshores $L/K$ també ho és.

Prova. Trivial: si $L/F$ és el cos de descomposició d’un conjunt de polinomis $S$, també ho és del mateix conjunt pensat com a conjunt de polinomis amb coeficients a $K$.