Episodi 11. Extensions Abelianes

En aquest apartat estudiem les extensions ciclotòmiques, i veiem que \(\Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\) és canònicament isomorf a \((\ZZ/n\ZZ)^\times\). Com a aplicació, veurem com construir polígons regulars amb regle i compàs. Veurem que només és possible per polígons regulars de \(n\) costats quan \(\varphi{n}\) és una potència de \(2\). Això passa si i només si \(n\) és producte d’una potència de dos i de primers de Fermat diferents.

11.1 Grup de Galois dels cossos ciclotòmics

Sigui \(n\geq 2\) i considerem el cos ciclotòmic \(\QQ(\zeta_n)\). Volem estudiar \(\Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\). Per cada \(a\in\ZZ\) coprimer amb \(n\), definim l’aplicació \[ \sigma_a \colon \QQ(\zeta_n)\to \QQ(\zeta_n),\quad \zeta_n\mapsto \zeta_n^a. \]

Teorema 11.1 L’aplicació \(a \mapsto \sigma_a\) indueix un isomorfisme \[ \psi \colon (\ZZ/n\ZZ)^\times \to \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ). \]

Prova. Ja sabem que \(\Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\) té exactament \(\varphi(n)\) elements. Si \(\sigma\) és un d’aquests automorfismes, sabem que ve determinat per on envia \(\zeta_n\), que és una arrel del polinomi ciclotòmic \(\Phi_n(x)\). Per tant, \(\sigma(\zeta_n)\) és una arrel \(n\)-èssima primitiva de la unitat i doncs ha de ser \(\zeta_n^a\) per alguna \(a\) coprimera amb \(n\). Així veiem que \(\sigma_a\in \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\) i \(\psi\) és una aplicació ben definida i a més exhaustiva, per tant bijectiva. A més, \(\psi\) és un morfisme de grups, ja que \[ (\sigma_a\sigma_b)(\zeta_n) = \sigma_a(\zeta_n^b) = (\zeta_n^b)^a = \zeta_n^{ab} = \sigma_{ab}(\zeta_n). \]

Fixem-nos que en particular tenim exemples d’extensions cícliques de grau \(p-1\) per qualsevol primer \(p\). També tenim una versió més conceptual del teorema xinès dels residus, que escrivim en el cas de dos factors per estalviar notació.

Proposició 11.1 Si \(n\) i \(m\) són coprimers, aleshores \(\QQ(\zeta_n) \cap \QQ(\zeta_m) = \QQ\), \(\QQ(\zeta_n,\zeta_m) = \QQ(\zeta_{nm})\), i \[ \Gal(\QQ(\zeta_{nm})/\QQ) \cong \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \times \Gal(\QQ(\zeta_m)/\QQ). \]

Prova. Tenim òbviament \(\QQ(\zeta_n)\subseteq \QQ(\zeta_{nm})\) i \(\QQ(\zeta_m)\subseteq \QQ(\zeta_{nm})\). Per tant el compositum també és un subcos. Però aquest compositum conté \(\zeta_n\zeta_m\) i, per tant obtenim \(\QQ(\zeta_n,\zeta_m)=\QQ(\zeta_{nm})\). El diagrama \[ \xymatrix{ \phantom{a}&& \QQ(\zeta_{nm})\ar@{-}[dl]\ar@{-}[dr]\\ &\QQ(\zeta_n)&&\QQ(\zeta_m)\\ &&\QQ(\zeta_n)\cap \QQ(\zeta_m)\ar@{-}[d]\ar@{-}[ul]\ar@{-}[ur]\\ \phantom{a}\ar@/^/@{-}[uuu]^{\varphi(nm)}&&\QQ\ar@{-}[uul]^{\varphi(n)}\ar@{-}[uur]_{\varphi(m)} } \] i la fórmula de les torres ens permet deduir que \(\QQ(\zeta_n)\cap\QQ(\zeta_m)=\QQ\). Per la Proposició 10.2, tenim \(\Gal(\QQ(\zeta_{mn})/\QQ)\cong \Gal(\QQ(\zeta_m)/\QQ) \times \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\).

El següent lema ens permet trobar generadors dels subcossos de \(\QQ(\zeta_p)\) quan \(p\) és un primer. En aquest cas, la base formada pels elements \(\zeta_p,\zeta_p^2,\ldots, \zeta_p^{p-1}\) és molt convenient (s’anomena una base normal) ja que els seus elements són els conjugats d’un de sol, per exemple \(\zeta_p\). Això és així perquè els elements d’aquesta base són tots ells arrels primitives, i els automorfismes de \(\Gal(\QQ(\zeta_p)/\QQ)\) les permuten.

Lema 11.1 Sigui \(p\) un primer, i sigui \(H\leq \Gal(\QQ(\zeta_p)/\QQ)\) un subgrup. Aleshores \[ \theta_H=\sum_{\sigma \in H} \sigma(\zeta_p) \] és un generador del cos fix d’\(H\). L’element \(\theta_H\) s’anomena un període de \(\zeta_p\).

Prova. Sigui \(G=\Gal(\QQ(\zeta_p)/\QQ)\). Primer de tot, observem que per tot \(\tau\in H\), aleshores \(\tau\theta_H=\theta_H\), ja que els summands simplement es permuten. Per tant, \(\theta_H\) és un element del cos fix d’\(H\). Pels comentaris del paràgraf anterior, \(\tau(\theta_H)\) és una suma d’elements de la base normal, per qualsevol \(\tau\in G\). Així, si \(\tau\in G\smallsetminus H\) i es donés el cas que \(\tau(\theta_H)=\theta_H\), tindríem \(\tau(\zeta_p)=\sigma(\zeta_p)\) per algun \(\sigma\in H\). Però els automorfismes estan determinats per la seva acció a \(\zeta_p\), i per tant \(\tau=\sigma\). Concloem que \(\theta_H\) no és fix per cap automorfisme fora d’\(H\), i per tant genera el cos fix per \(H\).

Exemple 11.1 Calcularem el reticle de subcossos de \(\QQ(\zeta_{13})\), fent servir el lema anterior. Hem de calcular \(G=\Gal(\QQ(\zeta_{13})/QQ)\cong (\ZZ/13\ZZ)^\times\), que és un grup cíclic de \(12\) elements. Per exemple, un generador és el \(2\), ja que \(2^4\equiv 3 \pmod{13}\) i \(2^6\equiv 12\pmod{13}\). Es correspon al generador de \(G\) que anomenarem \(\sigma\), amb \(\sigma(\zeta_p)=\zeta_p^2\).

Els subgrups no trivials de \(G\) tenen ordres \(2\), \(3\), \(4\) i \(6\), i venen generats per \(\sigma^6\), \(\sigma^4\), \(\sigma^3\) i \(\sigma^2\), respectivament. Aleshores podem calcular els \(\theta_H\) corresponents, que són: \[\begin{align*} \zeta+\sigma^6(\zeta)&=\zeta+\zeta^{2^6} = \zeta+\zeta^{-1}\\ \zeta+\sigma^4(\zeta)+\sigma^8(\zeta) &=\zeta+\zeta^3+\zeta^9\\ \zeta+\sigma^3(\zeta)+\sigma^6(\zeta)+\sigma^9(\zeta) = \zeta+\zeta^8+\zeta^{12}+\zeta^5\\ \zeta+\sigma^2(\zeta)+\sigma^4(\zeta)+\sigma^6(\zeta)+\sigma^8(\zeta)+\sigma^{10}(\zeta)&=\zeta+\zeta^4+\zeta^3+\zeta^{12}+\zeta{9}+\zeta{10}. \end{align*}\]

Obtenim, finalment, el següent reticle de subcossos: \[ \xymatrix@C=1em{ &\QQ(\zeta)\\ &\QQ(\zeta+\zeta^{-1})\ar@{-}^{2}[u]\\ \QQ(\zeta+\zeta^3+\zeta^9)\ar@{-}^{3}[uur]\\ &&\QQ(\zeta+\zeta^8+\zeta^{12}+\zeta^5)\ar@{-}^{2}[uul]\\ &\QQ(\zeta+\zeta^4+\zeta^3+\zeta^{12}+\zeta{9}+\zeta{10})\ar@{-}^{2}[uul]\ar@{-}^{3}[uuu]\\ &&\QQ\ar@{-}^{2}[ul]\ar@{-}^{3}[uu] } \]

11.2 Extensions abelianes

Podem fer servir el què hem vist per demostrar el següent resultat. Necessitarem un resultat d’aritmètica:

Proposició 11.2 Sigui \(m\geq 1\) un enter positiu. Aleshores existeixen infinits primers \(p\) tals que \(p \equiv 1\pmod{m}\).

Prova. Ens caldrà fer servir que \(\Phi_m\in\ZZ[x]\) és mònic, i \(\Phi_m(0) = 1\).

Suposem donats \(p_1,\ldots,p_k\) congruents amb \(1\) mòdul \(m\). Trobarem un primer més gran que tots ells, que també serà \(\equiv 1 \pmod{m}\). Considerem el producte \(M = \ell mp_1p_2\cdots p_k\) on \(\ell\) és suficientment gran com per què \[ T = \Phi_m(M) > 0. \] Considerem un primer \(p\) que divideixi aquesta quantitat \(T\). Com que \(T\equiv 1 \pmod M\), el primer \(p\) no és cap dels \(p_i\), i tampoc divideix \(m\). Per definició, \(\Phi_m(M)\equiv 0\pmod p\), i per tant \(M^m \equiv 1 \pmod p\). De fet, si \(n\mid m\) amb \(n < m\) aleshores \(M^n\neq 1 \pmod p\) (per què?). Pel petit teorema de Fermat, \(p-1 \mid M\), és a dir, que \(p\equiv 1\pmod{M}\). Acabem de construir un nou primer congruent amb \(1\) mòdul \(M\), com volíem.

Teorema 11.2 (realització de grups abelians) Sigui \(G\) un grup finit abelià. Aleshores hi ha una extensió \(K/\QQ\) continguda dins d’un cos ciclotòmic tal que \(\Gal(K/\QQ) \cong G\).

Prova. Tot grup abelià és producte de cíclics: \[ G \cong C_{n_1}\times C_{n_2}\times\cdots\times C_{n_k}. \] Per la proposició anterior, existeixen primers diferents \(p_1, p_2, \ldots,p_k\) tals que \(p_i\equiv 1\pmod{n_i}\). Considerem \(n=p_1p_2\cdots p_k\). Aleshores, tenim \[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\cong (\ZZ/(p_1-1))^\times \times (\ZZ/(p_2-1))^\times \times \cdots \times (\ZZ/(p_k-1))^\times. \] Com que \(n_i\) divideix \(p_i-1\), hi ha un subgrup \(H_i\leq C_{p_i-1}\) d’índex \(n_i\) per cada \(i\), i el quocient per \(H_1\times H_2\times\cdots\times H_k\) és isomorf a \(G\). Per la correspondència de Galois, hi ha un subcos de \(\QQ(\zeta_n)\) que realitza \(G\).

Els cossos ciclotòmics són exemples d’extensions de Galois amb grup abelià. En general, una extensió \(K/F\) es diu que té la propietat \(P\) si és de Galois i el seu grup de Galois té la propietat \(P\). Per exemple, tenim la següent definició:

Definició 11.1 (extensió abeliana) Una extensió \(K/F\) és abeliana si \(K/F\) és de Galois i \(\Gal(K/F)\) és un grup abelià.

El resultat anterior té un recíproc que no podem demostrar aquí:

Teorema 11.3 (Kronecker-Weber) Sigui \(K/\QQ\) una extensió finita abeliana. Aleshores \(K\) està contingut en una extensió ciclotòmica.

En general, és avui un problema obert el determinar quins grups apareixen quan com a grups de Galois d’extensions \(K/\QQ\). Ja hem vist que tots els grups abelians apareixen, però hi ha grups (per exemple \(\PSL_2(\FF_{125})\)) pels quals no s’ha demostrat encara que hi apareguin. Aquest problema s’anomena el problema invers de la teoria de Galois.

11.3 Constructibilitat de polígons regulars

Com a aplicació dels cossos ciclotòmics, estudiarem quins polígons regulars es poden construir amb regle i compàs. Ja hem vist que un nombre real \(\alpha\) és constructible si i només si \(\QQ(\alpha)\) està contingut en un cos \(K\) obtingut a partir de \(\QQ\) a partir d’un nombre finit d’extensions quadràtiques.

Construir un polígon de \(n\) costats és equivalent a construir les arrels \(n\)-èssimes de la unitat \(\zeta_n\), que al seu torn és equivalent a construir la seva part real \(x=\frac{1}{2}(\zeta_n+\zeta_n^{-1})\). Com que \(\zeta_n^2 - 2 x \zeta_n + 1=0\), el cos \(\QQ(zeta_n)\) és una extensió de grau \(2\) sobre \(\QQ(x)\) (aquesta última és real, mentre que \(\QQ(\zeta_n)\) no). Per tant, si volem que el cos \(\QQ(x)\) estigui dins de \(K\) ens cal en particular que el seu ordre \(\varphi(n)/2\) sigui potència de \(2\), és a dir, que \(\varphi(n)\) sigui potència de \(2\).

Recíprocament, si \(\varphi(n)\) és una potència de \(2\), aleshores \(\QQ(x)\) té ordre una potència de \(2\). Prenent successivament subgrups d’índex \(2\) i fent servir la correspondència de Galois, obtenim una successió \[ \QQ = K_0 \subset K_1\subset\cdots\subset K_m = \QQ(x),\quad [K_i \colon K_{i-1}] = 2, \] i per tant \(x\) és constructible. D’aquí tenim la següent caracterització. Recordem que un primer \(p\) es diu primer de Fermat si \(p-1\) és una potència de \(2\).

Teorema 11.4 (construcció de polígons regulars) Sigui \(n\) un enter positiu. Aleshores el polígon regular de \(n\) costats és constructible amb regle i compàs si i només si \(n\) és de la forma \[ n = 2^k p_1 \cdots p_r, \] on \(k\geq 0\) i \(p_i\) són primers de Fermat diferents.

Prova. Escrivim \(n\) com a producte de potències de primers diferents \[ n=2^{k}q_1^{e_1} q_2^{e_2}\cdots q_r^{e_r}, \quad q_i \text{ senar.} \] Aleshores tenim la fórmula coneguda \[ \varphi(n) = 2^{k-1} \prod_{i=1}^r (q_i-1)q_i^{e_i-1}. \] Ja veiem que cal que \(e_i=1\) per tot \(i\) si volem que \(\varphi(n)\) sigui potència de \(2\). A més, cal que \(q_i-1\) sigui potència de \(2\) per a tot \(i\), és a dir que \(q_i\) sigui un primer de Fermat.

Només es coneixen cinc primers de Fermat: \(F_0=3\), \(F_1=5\), \(F_2=17\), \(F_3=257\), \(F_4=65537\). En general, si \(p\) és un primer de Fermat aleshores \(p=2^{2^i}+1\) per algun \(i\geq 0\). Els nombres \(F_i=2^{2^i} +1\) s’anomenen nombres de Fermat. Sembla poc probable que hi hagi infinits primers de Fermat, però és encara un problema obert.

La següent expressió dona (en principi) una manera de construir un \(17\)-gon regular amb regle i compàs. \[ \cos\frac{2\pi}{17} = \frac{1}{16}\left(\sqrt{17}-1+\sqrt{34-2\sqrt{17}}\right)+ \frac{1}{8}\left(\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right). \]