Demostreu que \(f(x)=x^3-10x^2+5\) és irreductible a \(\QQ[x]\). Sigui \(F=\QQ(\alpha)\), on \(\alpha\) és una arrel de \(f(x)\). Calculeu \(1/(1+\alpha^2)\).
Demostreu que \(x^3+x^2+1\) és irreductible a \(\FF_2\). Sigui \(F=\FF_2(\alpha)\), on \(\alpha\) és una arrel de \(f(x)\). Calculeu les potències d’\(\alpha\) a \(F\).
Demostreu que \(x^3-nx+2\) és irreductible si \(n\neq -1, 3, 5\).
Trobeu per quins valors de \(t\in \ZZ\) el polinomi \(x^5+tx-1\in \ZZ[x]\) és irreductible.
Trobeu el polinomi mínim de \(2+3i\) sobre \(\QQ\), on \(i=\sqrt{-1}\).
Trobeu el grau de \(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\) sobr \(\QQ\).
Sigui \(F\) un cos de característica diferent de \(2\). Sigui \(a,b\in F\) elements amb \(b\) no-quadrat a \(F\).
Demostreu que \(\sqrt{a+\sqrt{b}}\) és suma de dues arrels quadrades si i només si \(a^2-b\) és un quadrat. Determineu
quan \(\QQ(\sqrt{a+\sqrt{b}})\) és una extensió biquadràtica de \(\QQ\).
Calculeu el grau de \(\sqrt{1+\sqrt{-3}} + \sqrt{1-\sqrt{-3}}\) sobre \(\QQ\).
Demostreu que si \([F(\alpha)\colon F]\) és senar, llavors \(\alpha \in F(\alpha^2)\).
Demostreu que si \(K/F\) és una extensió algebraica i \(M\) és un subanell de \(K\) que conté a \(F\), aleshores \(M\) és un cos.
Sigui \(K/F\) una extensió de grau \(n\), i sigui \(\alpha\in K\). Demostreu que l’aplicació \(m_\alpha\colon K \to K\)
que envia \(x\mapsto m_\alpha(x)=\alpha x\) és \(F\)-lineal. Demostreu que si \([K\colon F]\leq n\) aleshores
l’anell \(M_n(F)\) conté un cos isomorf a \(K\).
Amb la notació de l’apartat anterior, demostreu que \(\alpha\) és una arrel del polinomi característic de \(m_\alpha\). Aprofiteu
aquest resultat per trobar el polinomi mínim de \(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\).
Demostreu que no es pot construir el polígon regular de \(9\) costats amb regle i compàs.
Demostreu que \(2\cos(2\pi/7)\) és arrel del polinomi \(x^3+x^2-2x-1\), i deduiu que l’heptàgon regular no és constructible amb regle i compàs.
Trobeu els cossos de descomposició de \(x^4-2\), \(x^4+2\), \(x^4+x^2+1\), \(x^6-4\).
Demostreu que si \(K_1/F\) i \(K_2/F\) són extensions normals, aleshores \(K_1K_2/F\) i \(K_1\cap K_2 / F\) també ho són.
Demostreu que \(\mcd(x^a-1, x^b-1) = x^{\mcd{a,b}}-1\).
Descomposeu \(x^16-x \in \FF_2[x]\) en producte d’irreductibles.
Sigui \(p\) un primer. Demostreu que \(x^p-x+a\in \FF_p[x]\) és irreductible i separable per tot \(a\in\FF_p\).
Demostreu que \(\prod_{x\in \FF_{p^n}^\times} x = (-1)^{p^n}\).
Sigui \(p\) un primer$. Demostreu que \(\binom{pn}{pi} \equiv \binom{n}{i}\pmod{p}\).
Sigui \(K/\QQ\) una extensió finita. Demostreu que \(K\) conté un nombre finit d’arrels de la unitat.
Demostreu que si \(n\geq 3\) és senar, llavors \(\Phi_{2n}(x)=\Phi_n(-x)\).
Sigui \(\varphi(x)=x^p\) el morfisme de Frobenius en un cos finit \(\FF_{p^n}\). Calculeu la forma de Jordan de \(\varphi\)
pensat com una aplicació \(\FF_p\)-lineal.
Sigui \(A=\CC[[t]]\) l’anell de sèries de potències formals, i sigui \(F\) el seu cos de fraccions. Demostreu que el conjunt
\[
K = \{\sum_{k=0}^\infty c_k t^{k/n} ~|~ n \geq 1\}
\]
és un cos, i de fet és una clausura algebraica d’\(F\).
Demostreu que si \(\sigma\colon K\to K\) és un automorfisme i \(F\subseteq K\) és el cos primer de \(K\), aleshores la
restricció de \(\sigma\)\(F\) és la identitat.
Sigui \(F\) un cos infinit, i sigui \(V\) un \(F\)-espai vectorial de dimensió infinita. Demostreu que si \(V_1, \ldots, V_r\) són
subespais propis, aleshores existeix \(v \in V\) que no pertany a cap dels \(V_i\).
Demosteu que si \(K/F\) és una extensió de cossos de grau infinit, i \(K_1,\ldots,K_r\) són subextensions pròpies de \(K\), aleshores
hi ha algun element de \(K\) que no pertany a cap dels \(K_i\).
Calculeu el reticle de subcossos del cos de descomposició de \(x^8-2\) sobre \(\QQ\).
Sigui \(L/\FF_p\) una extensió de cossos i \(\alpha \in L\) un element algebraic sobre \(\FF_p\) . Demostreu que
\(\alpha^p\) és una arrel de \(\Irr_{\alpha,\FF_p}(x)\).
Trobeu els irreductibles sobre \(\FF_2\) de tots els elements del cos \(\FF_2[x]/(x^3 + x + 1)\).
Trobeu tots els irreductibles de grau \(\leq 6\) de \(\FF_2[x]\).
Trobeu un element primitiu per l’extensió \(\QQ(\sqrt{2},\sqrt{3})/\QQ\).
Considereu el cos \(F = \FF_2(t)\), i l’extensió \(K = \FF_2(\sqrt[3]{t})\). Considereu
el polinomi \(f(x) = x^3 - t \in F[x]\).
Demostreu que \(f(x)\) és irreductible a \(F[x]\) i que també és separable.
Vegeu que existeix un cos de descomposició \(E\) de \(f(x)\) sobre \(F\) que conté el cos \(K\) definit
anteriorment. Vegeu que l’extensió \(E/F\) és de Galois i calculeu-ne el grup de Galois.
Siguin \(\alpha\) i \(\beta\) dues arrels diferents de \(f(x)\) a \(E\). Proveu que \(\alpha\beta\) és algebraic sobre \(\FF_2\).
Demostreu que l’extensió \(E/`\FF_2\) no és simple, o sigui no existeix cap \(\delta\in E\) tal que \(E =\FF_2(\delta)\).
Calculeu els grups de Galois \(\Gal(\QQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) / \QQ)\) i \(\Gal(\QQ(\sqrt[3]{2})/\QQ)\) com a
subgrups de \(S_4\) i \(S_3\), respectivament.
Trobeu una torre d’extensions radicals que contingui el cos de descomposició del polinomi
\(f(x) = x^6 + ax^3 + b \in F[x]\), on \(F\) és un cos de característica \(0\) i \(a,b\in F\).
Donat \(G\) un grup finit, proveu que existeix una extensió \(K/F\) Galois amb grup de Galois \(G\).