Episodi 2. Torres

Definirem elements algebraics i transcendents i el polinomi mínim d’un element algebraic, amb exemples. Enunciarem i demostrarem la fórmula de les torres, i com es comporta el grau en composicions de cossos.

2.1 Extensions algebraiques/transcendents

Considerem una extensió \(K/F\).

Definició 2.1 (element algebraic) Diem que un element \(\alpha\in K\) és algebraic sobre \(F\) si \(\alpha\) és l’arrel d’un polinomi \(f(x)\in F[x]\).

Diem que \(\alpha\) és transcendent sobre \(F\) si no és algebraic.

L’extensió \(K/F\) és algebraica si tots els elements \(\alpha\in K\) són algebraics sobre \(F\).

Fixem-nos que si \(\alpha\) és algebraic sobre \(F\) aleshores sabem que hi ha algun polinomi \(f(x)\in F[x]\) que té \(\alpha\) com a arrel. Però n’hi ha molts més, per exemple qualsevol múltiple de \(f(x)\). El següent resultat ens permet assignar un polinomi canònic a cada element algebraic.

Proposició 2.1 Si \(\alpha\) és algebraic sobre \(F\), aleshores hi ha un únic polinomi mònic i irreductible \(\Irr_{\alpha,F}(x)\) que té \(\alpha\) com a arrel. A més, \(f(x)\in F[x]\) té \(\alpha\) com a arrel si i només si és un múltiple de \(\Irr_{\alpha, F}(x)\).

Prova. Sigui \(g(x)\in F[x]\) un polinomi mònic amb \(\alpha\) com a arrel, i amb grau mínim entre tots ells. Si es pogués trencar com \(g(x)=g_1(x)g_2(x)\), aleshores \(\alpha\) seria una arrel d’un dels \(g_i(x)\), contradient la minimalitat del grau de \(g(x)\).

Suposem que \(f(x)\) satisfà \(f(\alpha)=0\). Dividint per \(\Irr_{\alpha,F}(x)\), tenim \[ f(x)=\Irr_{\alpha,F}(x) q(x)+r(x), \] i substituint a \(x=\alpha\) tindrem \(r(\alpha)=0\). Per minimalitat, deduïm que \(r(x)=0\), com volíem.

Fixem-nos que, si \(K/L/F\) és una torre d’extensions i \(\alpha\in K\) és algebraic sobre \(F\), aleshores també ho és sobre \(L\), i a més \(\Irr_{\alpha,L}(x)\) divideix \(\Irr_{\alpha,F}(x)\) a \(L[x]\).

Definició 2.2 (polinomi mínim) El polinomi \(\Irr_{\alpha,F}(x)\) s’anomena el polinomi mínim d’\(\alpha\) sobre \(F\), i el seu grau s’anomena el grau d’\(\alpha\) sobre \(F\).

Posant junt tot el què hem vist fins ara, si prenem \(\alpha\in K\) aleshores podem considerar la subextensió \(F(\alpha)/F\). En aquest cas, \(F(\alpha)\cong F[x]/(\Irr_{\alpha,F}(x))\) i per tant \([F(\alpha)\colon F] = \deg \alpha\).

Exemple 2.1 El polinomi mínim de \(\sqrt{2}\in \RR\) sobre \(\QQ\) és \(x^2-2\). Diem que \(\sqrt{2}\) és un element quadràtic sobre \(\QQ\). De manera semblant, el polinomi mínim de \(\sqrt[3]{2}\) és \(x^3-2\). Aquests dos polinomis són irreductibles sobre \(\QQ\) per exemple per que són \(2\)-Eisenstein.

Proposició 2.2 Si \([K\colon F]=n\) i \(\alpha\in K\), aleshores \(\deg\alpha\leq n\). En particular, tota extensió finita \(K/F\) és algebraica.

Prova. Considerem els elements \(1, \alpha, \alpha^2,\ldots, \alpha^{n-1}, \alpha^{n}\). Com que n’hi ha \(n+1\), hi ha d’haver una relació de dependència lineal entre ells, i això ens dona un polinomi \(f(x)\in F[x]\) de grau \(\leq n\) tal que \(f(\alpha)=0\).

No és cert que tota extensió algebraica sigui finita (en veurem exemples més endavant).

El següent resultat ens caracteritza com són les extensions quadràtiques d’un cos \(F\) de característica \(\neq 2\).

Proposició 2.3 Sigui \(F\) un cos de característica \(\neq 2\), i sigui \(K/F\) una extensió de grau \(2\). Aleshores existeix \(\delta\in K\smallsetminus F\) tal que \(\delta^2=D\in F\) i \(K=F(\delta)\). Escriurem que \(K=F(\sqrt{D})\).

Prova. Prenem \(\alpha\in K\smallsetminus F\). Per tant, \(\alpha\) satisfà un polinomi de grau dos, que podem suposar mònic, posem \(f(x)=x^2 + bx+c\) amb \(b,c\in F\). Observem que \(F(\alpha)=K\), ja que \(F(\alpha)\) és una extensió de grau \(2\) dins de \(K\). Sigui \(\delta=\alpha+b/2\). Aleshores és fàcil veure que \(\delta\) és una arrel del polinomi \(g(x)=x^2-D\), on \(D=b^2-4c\). Per tant, \(F(\alpha)=F(\delta)=F(\sqrt{D})\).

2.2 Torres de cossos

En aquesta secció considerem torres \(L/K/F\). Ens interessa relacionar les dues extensions \(L/K\) i \(K/F\) amb l’extensió total \(L/F\).

Proposició 2.4 Sigui \(K/F\) una extensió, i sigui \(V\) un \(K\)-espai vectorial. Aleshores \[ \dim_F V = [K\colon F] \dim_K V. \]

Prova. Sigui \(\{v_i\}_{i\in I}\) una \(K\)-base de \(V\), i sigui \(\{\alpha_j\}_{j\in J}\) una base de \(K\) sobre \(F\). Aleshores és fàcil comprovar que el conjunt \(\{\alpha_j v_i\}_{i\in I, j \in J}\) forma una \(F\)-base de \(V\).

Teorema 2.1 (fórmula de les torres) Si \(F\subseteq K\subseteq L\), aleshores \[ [L\colon F] = [L \colon K] [K \colon F]. \] Si un costat de l’equació és infinit, aleshores l’altre també.

Prova. Es dedueix directament del lema anterior.

Corol·lary 2.1 Si \(L/F\) és una extensió finita i \(K/F\) és una subextensió (és a dir, \(K\subseteq L\)) aleshores \([K\colon F]\) divideix \([L\colon F]\).

Per exemple, el corol·lari anterior ens permet deduir que \(\sqrt{2}\) no pertany a cap extensió de grau senar.

Exercici 2.1 Demostreu que el polinomi \(x^3-\sqrt{2}\) és irreductible sobre \(\QQ(\sqrt{2})\), fent servir la torre \(\QQ(\sqrt[6]{2}) / \QQ(\sqrt{2}) / \QQ\).

El següent lema senzill ens permetrà construir qualsevol extensió finitament generada de manera iterativa:

Lema 2.1 Si \(\alpha\) i \(\beta\) són elements de \(K/F\), aleshores \(F(\alpha,\beta)=(F(\alpha))(\beta)\).

Prova. El cos \(F(\alpha,\beta)\) conté \(F(\alpha)\). Com que també conté \(\beta\), tenim \(F(\alpha)(\beta)\subseteq F(\alpha,\beta)\) per minimalitat de \(F(\alpha)(\beta)\).

Recíprocament, com que el cos \(F(\alpha)(\beta)\) conté a \(F\), a \(\alpha\) i a \(\beta\), aleshores per minimalitat de \(F(\alpha,\beta)\) tenim que \(F(\alpha,\beta)\subseteq F(\alpha)(\beta)\).

Exercici 2.2 Calculeu el grau de l’extensió \(\QQ(\sqrt{2},\sqrt{3})/\QQ\), i doneu-ne una base.

Teorema 2.2 L’extensió \(K/F\) és finita si i només si \(K=F(S)\) on \(S\) és un conjunt finit d’elements algebraics.

Prova. Suposem \(K/F\) finita de grau \(n\), i sigui \(S\) el conjunt (finit) format per una base de \(K\) sobre \(F\). Aleshores \(K=F(S)\), i els elements \(\alpha\in S\) són tots algebraics, ja que \([F(\alpha)\colon F]\) divideix \(n\) i en particular el grau és finit.

Recíprocament, si \(K=F(S)\) amb \(S\) un conjunt finit d’elements algebraics, aleshores podem obtenir \(K\) adjuntant successivament els elements de \(S\), i cada extensió és finita.

Corol·lary 2.2 Si \(\alpha\) i \(\beta\) són algebraics sobre \(F\), aleshores també ho són \(\alpha\pm \beta\), \(\alpha\beta\) i \(\alpha/\beta\) (si \(\beta\neq 0\)).

Corol·lary 2.3 Si \(L/F\) és una extensió qualsevol, aleshores el conjunt \(K\) d’elements de \(L\) que són algebraics sobre \(F\) forma un subcos \(L/K/F\).

Per exemple, podem considerar \(\bar{\QQ}\subseteq\CC\), el conjunt de tots els complexos algebraics, o també \(\bar{\QQ}\cap \RR\), el conjunt dels reals algebraics. Aquests cossos són enumerables (tenen un conjunt d’elements enumerable) i per tant són més petits que \(\RR\) i que \(\CC\). D’aquest fet obtenim que hi ha (molts) elements de \(\RR\) que no són algebraics. En canvi, sovint és difícil demostrar que un real donat (per exemple \(\pi\)) és transcendent.

Teorema 2.3 Si \(K/F\) és una extensió algebraica i \(L/K\) també, aleshores \(L/F\) és algebraica.

Prova. Sigui \(\alpha\in L\). Per tant, \(\alpha\) satisfà un polinomi \(f(x)\in K[x]\). Sigui \(S\) el conjunt (finit) format pels coeficients de \(f(x)\). Com que \(K/F\) és algebraica, els elements de \(S\) són tots algebraics i per tant l’extensió \(F(S)/F\) és finita. Considerem el cos \(F(\alpha,S)\). Tenim: \[ [F(\alpha,S)\colon F] = [F(\alpha,S)\colon F(S)] [F(S) \colon F]. \] El primer terme és menor o igual que el grau del polinomi \(f(x)\), ja que podem pensar \(f(x)\in F(S)\) i \(\alpha\) n’és una arrel. El segon terme és finit, com hem dit. Per tant \(F(\alpha,S)\) és una extensió finita, i això vol dir que \(\alpha\) és algebraic sobre \(F\).

2.3 Compositum de cossos

Recordem que donats dos cossos \(K_1/F\) i \(K_2/F\), el seu compost (o compositum) \(K_1K_2 /F\) és el mínim cos que conté tant a \(K_1\) com a \(K_2\). També es pot pensar com la intersecció de tots els cossos \(L/F\) que contenen el conjunt \(K_1\cup K_2\).

Proposició 2.5 Siguin \(K_1/F\) i \(K_2/F\) dues extensions contingudes a \(K\). Aleshores \[ [K_1K_2\colon F] \leq [K_1\colon F] [K_2 \colon F]. \] La igualtat es dona si i només si una base de \(K_1/F\) segueix essent linealment independent sobre \(K_2\) (o a l’inrevés). A més, tenim: \[ \xymatrix{ & K_1 K_2 \\ K_1\ar@{-}^{\leq m}[ur]\ar@{-}^{n}[dr] &&K_2\ar@{-}[ul]_{\leq n}\ar@{-}[dl]^{m}\\ &F } \]

Prova. Cal veure que els productes \(\alpha\beta\) on \(\alpha\) i \(\beta\) recorren bases respectives de \(K_1/F\) i de \(K_2/F\) generen \(K_1K_2/F\). N’hi ha prou amb veure que les combinacions lineal d’aquests elements formen un cos, que és una observació senzilla.

Fixem-nos que, si \(m\) i \(n\) són coprimers, aleshores per la fórmula de les torres tenim \([K_1K2\colon K_1]=m\) i \([K_1K_2\colon K_2]=n\). En general, però les desigualtats del diagrama anterior seran estrictes.