Episodi 12. Grups de Polinomis

En aquest episodi estudiem els grups de Galois de polinomis separables, i veurem una demostració del Teorema Fonamental de l’Àlgebra.

12.1 Grup de Galois d’un polinomi

A cada polinomi separable li podem associar un grup de Galois.

Definició 12.1 (grup de Galois d'un polinomi) Sigui \(f(x)\in F[x]\) un polinomi separable amb coeficients a un cos \(F\). El grup de Galois d’\(f(x)\) és el grup de Galois del cos de descomposició de \(f(x)\), que escriurem \(\Gal(f)\).

Sigui \(K/F\) una extensió de Galois. Aleshores \(K\) és el cos de descomposició d’un polinomi separable \(f(x)\in F[x]\). Com que les arrels de \(f(x)\) generen \(K/F\), tot element de \(\Gal(K/F)\) ve determinat per on envia cadascuna de les arrels de \(f(x)\), que necessàriament és una altra arrel. Així, si etiquetem les arrels de \(f(x)\) com \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\), obtenim un morfisme de grups injectiu \[ \Gal(K/F)\injects S_n, \] que ens permet pensar \(\Gal(K/F)\) com un subgrup de \(S_n\). De fet, si \(f(x)\) no és irreductible i factoritza com \[ f(x) = f_1(x)\cdots f_k(x), \] possiblement amb repetició, i \(\deg(f_i(x)) = n_i\), aleshores \[ \Gal(K/F)\injects S_{n_1}\times \cdots S_{n_k}, \] ja que els elements de \(\Gal(K/F)\) permuten les arrels de cadascun dels \(f_i(x)\) per separat.

Remarca. Suposem que \(f(x)\) és irreductible. Aleshores el subgrup de \(G\leq S_n\) que obtenim com a imatge de \(\Gal(K/F)\) és transitiu: donats \(i,j\), hi ha un element \(g\in G\) tal que \(g(i)=j\). Així, no tots els subgrups de \(S_n\) són possibles grups de Galois.

12.2 El grup de Galois del polinomi genèric

Fixem un cos \(F\), i considerem el cos \(F(s_1,\ldots,s_n)\), on \(s_i\) són indeterminades. Els elements d’aquest cos són quocients de polinomis en les variables \(s_i\) (s’anomenen funcions racionals). Considerem el polinomi \[ f(x) = x^n-s_1x^{n-1} + s_2x^{n-2} + \cdots + (-1)^n s_n \in F(s_1,\ldots, x_n), \] que té arrels \(x_1,\ldots,x_n\) que satisfan \[\begin{align*} s_1&=x_1+x_2+\cdots+x_n\\ s_2&=x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots x_{n-1}x_n\\ &\cdots\\ s_n&=x_1x_2\cdots x_n. \end{align*}\] El polinomi \(f(x)\) s’anomena el polinomi general de grau \(n\).

Teorema 12.1 El polinomi general de grau \(n\) és separable sobre \(F(s_1,\ldots,s_n)\), amb grup de Galois \(S_n\).

Prova. El cos de descomposició del polinomi general de grau \(n\) \(f(x)\) és justament \(F(x_1,\ldots,x_n)\). Suposem que \(p(t_1,\ldots,t_n)\) fos un polinomi en \(n\) variables i coeficients a \(F\) tal que \(p(x_1,\ldots,x_n)=0\). Aleshores podem prendre el producte de \(p(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots,x_{\sigma(n)})\) amb \(\sigma\) variant per tot \(S_n\), i obtenim un polinomi simètric \(\tilde p\) tal que \(\tilde p(x_1,\ldots,x_n)=0\). Però això donaria una relació no trivial entre \(s_1,\ldots,s_n\), contradicció.

Aquest resultat es pot interpretar com que un polinomi “genèric” de grau \(n\) tindrà grup de Galois \(S_n\). Tot i així, cal anar amb compte amb el significat de “genèric”: per exemple, els grups de Galois d’un polinomi irreductible sobre un cos finit sempre és cíclic, així que no serà \(S_n\) si \(n > 3\). Sí que és cert però que la “majoria” de polinomis sobre \(\QQ\) tenen grup de Galois \(S_n\) (en un cert sentit de “majoria”).

Definició 12.2 (discriminant) El discriminant d’un polinomi de grau \(n\) amb arrels \(x_1,\ldots,x_n\) és \[ \disc(f(x)) = \prod_{i < j} (x_i-x_j)^2. \]

Com que el discriminant és un polinomi simètric en les arrels de \(f(x)\), es pot expressar en termes dels seus coeficients. En particular, el discriminant del polinomi general és un element \(D\in F(s_1,\ldots,s_n)\).

Teorema 12.2 Sigui \(f(x)\in F[x]\). Aleshores \(\Gal(f)\) és un subgrup del grup alternat \(A_n\) si i només si \(\disc(f(x))\) és el quadrat d’un element de \(F\).

Prova. Siguin \(x_1,\ldots,x_n\) les arrels de \(f(x)\), i sigui \(D=\disc(f(x))\). Aleshores \(\sqrt{D}=\prod_{i < j} (x_i - x_j)\) és un element del cos de descomposició de \(f(x)\). Un element \(\sigma\in S_n\) té signe parell si i només si preserva \(\sqrt{D}\) (per definició del signe). Per tant, \(\sqrt{D}\) és un element de \(F\) si i només si tot element de \(\Gal(f)\) té signe parell, si i només si \(\Gal(f)\) és un subgrup d’\(A_n\).

12.3 El teorema fonamental de l’àlgebra

Demostrarem que \(\CC=\RR(i)\) és algebraicament tancat, fent servir aquest fet bàsic sobre \(\RR\), que es demostra amb el teorema del valor mig:

Proposició 12.1 No hi ha cap extensió de \(\RR\) finita de grau senar \(>1\).

Prova. Si \(K/\RR\) és una extensió finita de grau senar, aleshores ve generada per un polinomi irreductible \(f(x)\in \RR[x]\) de grau senar, que podem suposar mònic. En aquest cas, \(f(x)>0\) per \(x\) suficientment gran, i \(f(x)<0\) per \(x<0\) suficientment gran en valor absolut. El teorema del valor mig ens diu que \(f(x)\) té una arrel real, i per tant \(f(x)\) no pot ser irreductible.

Lema 12.1 No hi ha cap extensió de grau \(2\) de \(\CC\).

Prova. Hem de veure que l’arrel quadrada d’un nombre complex també és complex. Això és un exercici senzill. Per exemple, si \(\alpha=a+bi\), aleshores una arrel quadrada d’\(\alpha\) és de la forma \[ \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \pm i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}, \] on el signe s’ha de prendre de manera correcta.

Teorema 12.3 (Teorema Fonamental de l'Àlgebra) Sigui \(K/\RR\) una extensió finita. Aleshores \([K \colon \RR] \leq 2\).

Prova. Podem suposar (canviant \(K\) per la seva clausura de Galois) que \(K/\RR\) és finita i Galois, amb grup de Galois \(G=\Gal(K/\RR)\),. Sigui \(H\leq G\) un subgrup de \(2\)-Sylow. És a dir, \(|H|\) és una potència de \(2\), i \([G\colon H]\) és senar. Pel Teorema Fonamental de la Teoria de Galois, el grau \([K^H\colon \RR]=[G\colon H]\) és senar. La Proposició 12.1 implica que \(K^H=\RR\) i això vol dir (un altre cop pel Teorema Fonamental) que \(H=G\), és a dir, que \(G\) és un \(2\)-grup (té ordre una potència de \(2\)).

Suposem doncs que \(|G|\geq 4\), i arribarem a una contradicció. En aquest cas, hi ha subgrups \(H_2\leq H_1\leq G\) amb \([G\colon H_i] = 2^i\). En termes de cossos fixos, hi ha una extensió de grau \(2\) de \(K^{H_1}=\CC\), que contradiu el lema anterior.